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课件网) 在数理统计的许多问题中，总体的分布类型往往假定是已知的，例如，大批灯泡的寿命服从正态分布，纺织厂细纱机上的断头次数服从普阿松分布，抽检若干件产品中所含的次品数服从二项分布，等等。但分布的中往往含有一个或者多个的未知参数，只有确定了分布中的未知参数，才能求得所要求的概率。利用样本数据估计未知参数的过程就叫做参数估计。 参数估计分为点估计和区间估计两种。本节主要介绍点估计。 6.4.1 点估计的概念 6.4.2 点估计的两种方法 (1)矩估计 1990年，英国统计学家K.Person提出一个替换原则， 后此方法被人们称为矩法. 矩法估计的思想是替换原理，即用样本矩去替代总 体矩或者用样本矩函数去替代总体矩函数. 它的实质就 是利用经验分布函数去替换总体分布，其理论基石是格 里纹科定理. 在前面6.2节已经提到了样本矩，这里将总体矩一 并列出： K.Person 定义6 用替换原理估计未知参数的方法称为矩(法)估计. 用矩(法)估计确定的估计量称作矩估计量，对应的估计值 称为矩估计值. 注 矩估计不唯一，且在估计中应尽量采用低阶矩进 行估计. 例6.6 设总体X服从均匀分布U(a,b),a,b均为未知参 数，现抽得一个样本 ， ， ， ， ，求a,b的矩估计值. 解 由于 易解得 由此可得 据样本数据可求得 代入上式得a,b的矩估计值 (2)最大似然估计法 这是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇。费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的性质. Gauss Fisher 下面我们先看一个例子，以说明最大似然法的基本思想. 例6.7 某一专业赛车手与一位普通私家车车主进行一轮赛车，5分钟后第一辆车冲过了终点，8分钟后第二辆车冲过了终点，试猜测赛车的胜者是谁 解 由于只进行一轮比赛，谁率先冲过终点即是胜者， 又专业赛车手率先冲过终点的概率一般是大于普通私 家车主率先冲过终点的概率，故一般猜测率先通过终 点是专业赛车手，即赛车胜者是专业赛车手. 如上例这般推理，一组事件如果某个事件发生的 频率最大，就可以认为它是最有可能发生的事件，或 者说它发生的概率最大，而这样的推理方式就是最大 似然原理.“最大似然”即“最像”之意.显然，最大似然 原理与人们长期的生活实践经验是相符的. 最大似然估计的思想：在已经得到实验结果的情况下，应找出使该结果发生的可能性最大的那个 作为分布中未知参数 的估计 . 下面我们研究最大似然估计的求法 定义7 视为 对给定的一组样本值 我们把 的函数，称为似然函数，记作 是参数 使得 ，则称 若 的最大似然估计值，称 为 的最大似然估计量. 它们统称为 的最大似然估计(MLE). 在似然函数可微的情况下，最大似然估计最常用 的步骤如下： （1）写出似然函数 （2）对 求导，令 或 并求出驻点； （3）判断并求出最大值点，然后将样本值代入最 大值点表达式即得最大似然估计值. X 1 2 3 P 例6.8 设总体X的分布列为 解 由已知可得似然函数 对其取对数求导有 解得 由于 故 确使对数似然函数 达到最大. 所以 的最大似然估计值为 . 例6.9 解 设总体X服从指数分布，其密度函数为 似然函数为 由 得 作业：P146: 11、12、13 补充题 ... ...
