【题型解读与技巧点拨】中考二轮重难点复习学案专题06：6.2 与面积有关的问题 (原卷版＋解析版)

中小学教育资源及组卷应用平台 【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 6.2 与面积有关的问题 二次函数是初中数学的一个重点和难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。而求三角形（多边形）面积及其最值问题，更是常见。解决此类面积问题的方法为“割补法”、“等积变换法”、“铅垂线法”、“平行线法”、“相似转化法”等。本专题主要研究二次函数中的面积问题，包括三角形（多边形）面积、三角形（多边形）面积比值问题、面积最值问题等。 1．面积表示方法：（1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)． 图1图2图3 图4 （2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC．（3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA． （4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 注意：过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）。 （5）等积变换法：BC交y轴于点D，在抛物线上求一点P，使得S△BCP=S△ACB。 作法：过点A做BC的平行线，交抛物线于点P1，交y轴于E点；在D点下方找一点F，使DF=DE，过点F做BC的平行线，交抛物线于P2，P3，则P1，P2，P3即为所求的点. 图5 图6 （6）平行线法：直线l交抛物线于A、B两点，在l下方找一点P，使△ABP的面积最大。 作法：将直线l向下平移至与抛物线只有一个交点时，这个交点即为P点，此时△ABP的面积最大，可联立抛物线与直线l的解析式，进而求出三角形面积的最大值. 2．面积比问题 （1）等底或等高： 底相等，面积比=高之比 高相等，面积比=底之比 （2）斜转直： 3．面积最值：利用二次函数解动态几何中的面积最值，通常用含有自变量的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。 考向一　三角形（多边形）面积问题 例1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积是（　　）． A．3 B． C． D．2 例2．（2024·福建莆田·模拟预测）已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，关于的函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点A，，则的面积为 ． 例3．（2023·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ． 例4．（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 考向二　面积比值问题 例1．（2023年山东省青岛市中考数学真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象———抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． (1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值． 例2．（23 ... ...