高考数学专题一　微专题12　隐零点问题 课件(共57张PPT)

(课件网) 专题一　函数与导数 微专题12 隐零点问题 隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解.一般难度较大. 考情分析 思维导图 内容索引 典型例题 热点突破 典例1　(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝ ＋2的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝0. (1)判断函数f(x)的单调性； 考点一　不等式证明中的“隐零点”问题 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)>0，得01. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞). 令g(x)＝x(e2x－2)－ln x－1，其中x>0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当x∈(0，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，则g(x)在(0，x0)上单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，则g(x)在(x0，＋∞)上单调递增. 所以g(x)≥0，所以f(x)≤e2x. 跟踪训练1　已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x). (1)讨论f(x)极值点的个数； ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，不存在极值点； ②当a>0时，令h(x)＝xex－a，x>0， h′(x)＝(x＋1)ex>0. 显然函数h(x)在(0，＋∞)上是增函数， 又因为当x→0时，h(x)→－a<0，h(a)＝a(ea－1)>0， 所以存在x0>0，使h(x0)＝0. 当x∈(0，x0)时，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增. 所以x＝x0是f(x)的极小值点. 综上，当a≤0时，f(x)无极值点，当a>0时，f(x)有一个极值点. 由(1)得，f′(x0)＝0，即 ＝a， f(x0)＝ －a(x0＋ln x0)＝ (1－x0－ln x0)， 因为f(x0)>0，所以1－x0－ln x0>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数，且g(1)＝0， 由g(x)>g(1)得x<1，所以x0∈(0,1)， 设φ(x)＝ln x－x＋1，x∈(0,1)， 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增， φ(x)<φ(1)＝0，即φ(x)<0， 即ln x1－x， 所以ln(x＋1)x＋1>0. 因为x0∈(0,1)，所以 >x0＋1>0,1－x0－ln x0>1－x0＋1－x0>0， 相乘得 (1－x0－ln x0)>(x0＋1)(2－2x0)， 典例2　(2023·兰州模拟)已知函数f(x)＝x＋ －(a－2)ln x(a∈R)，g(x)＝(b－1)x－ －xex. (1)判断函数f(x)的单调性； 考点二　函数范围中的“隐零点”问题 若a≤0，f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 若a>0，则当0a时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增. (2)当a＝1时，关于x的不等式f(x)＋g(x)≤－1恒成立，求实数b的取值范围. 当a＝1时，f(x)＋g(x)＝bx＋ln x－xex， 当x∈(0，x0)时，u(x)<0，即h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，u(x)>0，即h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x0)为h(x)在定义域内的最小值. 所以b≤1，即实数b的取值范围是(－∞，1]. 跟踪训练2　(2023·成都模拟)已知f(x)＝aln x－xln x(a>0). (1)求证：f(x)仅有一个极值； 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递减. 所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减. f(x)极大值＝f(x0)，无极小值. 所以f(x)仅有一个极值. (2)若存在a，使f(x)≤a＋b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围. 任意x∈(0，＋∞)，f(x)≤a＋b，则a＋b≥f(x)max. 由(1)知f(x)max＝f(x0)＝aln x0－x0ln x0. 若存在a，使f(x)≤a＋b，即aln x0－x0ln x0≤a＋b， 得b≥aln x0－x0ln x0－a＝(x0ln x0＋x0)·ln x0－x0ln x0－(x0ln x0＋x0)＝h(x0)， 转化为b≥h(x0)min. h(x0)＝x0(ln x0)2－x0ln x0－x0(x0>0)， h′(x0)＝(ln x0)2＋ln x0－2＝(ln x0＋2)·(ln x0－1)， 由于(ln x0＋1)<－ ... ...