第五章一元函数的导数及其应用 知识归纳题型突破（含解析） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 （知识归纳+题型突破） 1.抽象概括能力：能通过平均速度的极限是瞬时速度，函数图象的割线斜率的极限是切线的斜率，抽象出函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，并进一步抽象出导数的概念. 2.推理论证能力：能利用导数对函数的单调性、极值、最大（小）值等性质进行分析、判断或求解；能准确使用导数的有关术语和数学符号进行数学表达，解决与函数有关的问题. 3.运算求解能力：能根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算导数；能通过求函数的导数、解不等式等数学运算来判断函数的单调性，求函数的极值和最大（小）值. 4.直观想象能力：能借助函数的图象直观认识函数的单调性与导数的正负之间的关系，能利用导数画出简单函数的图象，并由图象进一步认识函数的性质. 5.数学建模能力：能借助导数提升对函数模型的认识；能合理选择函数模型，解决增长率和优化等实际问题. 1.曲线的切线问题 （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率. 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 3.导数的四则运算法则 （1）两个函数和的和（或差）的导数法则：. （2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；. （3）由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 4.复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 5.函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， （1）若，则在区间内是单调递增函数； （2）若，则在区间内是单调递减函数； （3）若恒有，则在区间内是常数函数. 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 6.求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 7.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 8.函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值. （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 9.函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 题型一 ... ...