7.4.1二项分布 第三课（学案+练习） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1二项分布 第三课 知识扩展延伸 扩展1：二项分布的实际应用 例1.（2024·北京·模拟预测）某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 7 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 7 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. （1）若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； （3）假设选手乙参加轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算数平均值，为各轮较低分的算数平均值，为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较与的大小（结论不要求证明）. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望 （3） 【分析】 （1）该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，由此即可求解； （2）首先求出甲在某一轮中发挥稳定的概率为0.6，从而可知服从二项分布，进一步即可求得分布列以及数学期望； （3）首先求得关于的表达式，进一步即可比较大小. 【详解】（1）直接计算知该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，故； （2）甲在每轮游戏中“稳定发挥”的概率为，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， 这就得到的分布列为 0 1 2 3 二项分布的数学期望. （3）设在第轮中，较高分和较低分分别为和， 则，且，， 故，且 从而. 即. 【方法总结】n重伯努利试验中随机变量的常见实际应用考查方式： （1）给出事件A的概率满足条件，求p与n的值（或最值）； （2）求的最值及n为何值时取最值； （3）与不等式、函数结合，求概率问题． 【举一反三1-1】 1．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三1-2】 2．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？（附：） 【举一反三1-3】 3．一个口袋内有个大小相同的球，其中3个红球和个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p．若，有放回地从口袋中连续4次取球（每次只取1个球），在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值． 【举一反三1-4】（2024·全国·模拟预测） 4．“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小组前往参加闯关挑战（个人赛）． (1)求甲闯过四关的概率； (2)设随机变量为该四人小组闯过四关的人数，求． 扩展2：服从二项分布的随机变量的概率的最值问题 例2.（2024·山东日照·一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． （1）求一个问题能被软件正确应答的概率； （2）在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？ 【答案】（1）0.75 （2）7或8 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：且，结合数列单调性分析求解. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错 ... ...