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课件网) 专题四 立体几何 微专题26 球的切接问题 求解空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，常用的方法为补形法或者利用多面体的面作垂线，垂线的交点即为球心；求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径，常用切线长定理、等体积法等.球的切接问题是高考中的热点，一般为中档题. 考情分析 思维导图 内容索引 典型例题 热点突破 典例1 (1)(2023·东北三省三校联考)“阿基米德多面体”被称为半正多面体(semi－regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、 考点一 空间几何体的外接球 六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB＝ 则该半正多面体外接球的表面积为 A.18π B.16π C.14π D.12π √ 如图，在正方体EFGH－E1F1G1H1中，取正方体与正方形E1F1G1H1的中心O，O1，连接E1G1，OO1，OA，O1A， ∵A，B分别为E1H1，H1G1的中点，则E1G1＝2AB＝ ∴正方体的边长为EF＝3， 根据对称性可知，点O到该半正多面体的顶点的距离相等， √ 如图1，设O是△ABC的外接圆的圆心，因为AB＝BC＝AC＝3，所以△ABC是正三角形， 则三棱锥A－MBC的外接球的球心H在过点O且与平面ABC垂直的直线OO′上， 由直线CM与平面ABC所成的角为60°，得∠MCN＝60°， 当球心H到CM的距离最大时，三棱锥A－MBC的外接球体积最大， 所以点N在OC延长线上时，三棱锥A－MBC的外接球体积最大，如图2， 跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A.100π B.128π C.144π D.192π √ 设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上. 设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋ ＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)； 当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋ ＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3， 所以R2＝25， 所以该球的表面积为4πR2＝100π. 综上，该球的表面积为100π. √ 如图，在三棱锥P－ABC中，AB2＋PA2＝20＝PB2，则PA⊥AB，同理可得PA⊥AC， 因为AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，所以PA⊥平面ABC， 在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2， 易知OO1∥PA，取PA中点D，连接OD，则有OD⊥PA，又O1A 平面ABC，所以O1A⊥PA， 从而O1A∥OD，四边形ODAO1为平行四边形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A， 典例2 (1)如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平.如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球， 考点二 空间几何体的内切球 小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切.设AB＝a，则该模型中5 个球的表面积之和为_____. 如图所示，设O为大球的球心，大球的半径为R，正四面体的底面中心为E，棱长为a，高为h，CD的中点为F，连接OA，OB，OC，OD，OE，BF， 设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高h小＝h－ 2R＝ (2)(2023·益阳质检)金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为 现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球 体积是 √ 如图，设四边形ABCD的中心为O，BC，AD的中点分别为H，M，连接OH，EO，EH，MF，HF，EM， 设金刚石的边长为a，则由题知， 在等边△EBC中，BC边上的高 由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在O点， ... ...
