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课件网) 专题六 解析几何 微专题41 定点、定值问题 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，定点、定值问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大. 考情分析 思维导图 内容索引 典型例题 热点突破 典例1 考点一 圆锥曲线的定点(定直线)问题 (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 显然直线MN的斜率不为0， 联立直线MA1与直线NA2的方程可得 据此可得点P在定直线x＝－1上运动. 跟踪训练1 (2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图， 设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0， 解得k<0， 因为A(－2,0)， 所以线段MN的中点是定点(0,3). 典例2 (2023·佛山模拟)已知O为坐标原点，定点F1(－1,0)，F2(1,0)，圆O：x2＋y2＝2，M是圆内或圆上一动点，圆O与以线段F2M为直径的圆O1内切. (1)求动点M的轨迹方程； 考点二 圆锥曲线的定值问题 依题意知圆O1的半径r＝|O1F2|， 根据椭圆的定义可知动点M是以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆， (2)设M的轨迹为曲线E，若直线l与曲线E相切，过点F2作直线l的垂线，垂足为N，证明：|ON|为定值. 当直线l的斜率存在且不为零时，设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)， 消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 因为直线l与曲线E相切， 所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0， 整理得m2＝2k2＋1， 因为NF2与直线l垂直， 当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝±1， 过点F2(1,0)作直线l的垂线， 过点F2(1,0)作直线l的垂线， 跟踪训练2 (2023·临沂模拟)已知动点M(x，y)与点F(1,0)的距离和它到直线x＝4的距离之比是 ，点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， ∴3x0x1＋4y0y1＝0. 同理3x0x2＋4y0y2＝0， ∴A，B都在直线3x0x＋4y0y＝0上. 又∵直线AB过坐标原点， 故S△PAB＝6.∴△PAB的面积为定值. 直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出k和m的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系和恒成立问题来求解，即可得到定点；求解定值问题的关键是引入参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量就是定值. 总结提升 1 2 3 1 2 3 解得a2＝2，b2＝1， 1 2 3 (2)求证：点P在以F1，F2为焦点的定椭圆上. 1 2 3 ∴y1>0，y2>0， 设直线F1A的方程为my＝x＋1，则直线F2B的方程为my＝x－1， 1 2 3 1 2 3 又点B在椭圆C上， 1 2 3 ∴|PF1|＋|PF2|>|F1F2|， ∴点P在以F1，F2为焦点的定椭圆上. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 设P(x1，y1)，Q(x2，y2). 1 2 3 等式两边同时除以|OP|4·|OQ|4， 1 2 3 1 2 3 3.(2023·汕头模拟)如图，已知E(m，n)为抛物线x2＝2py(p>0)内一定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线交于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点. (1)当m＝0且k1k2＝－1时，求△EMN面积的最小值； 1 2 3 当m＝0时，E(0，n)为y轴上一点， 因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD， 则AB的方程为y＝k1x＋n， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得x2－2pk1x－2pn＝0， 1 2 3 则x1＋x2＝2pk1，x1x2＝－2pn， 因为AB⊥CD，则EM⊥EN， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 由题意知AB所在直线的方程为y＝k1(x－m)＋n，代入x2＝2py(p>0)中， 得x2－ ... ...
