7.4．2超几何分布 第一课解透课本内容 [课标要求] 理解超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． [明确任务] 理解超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．【数据分析，数学建模，数学运算】 1．排列数与组合数 （1）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ （2）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．C＝＝＝ (n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1 2．古典概型的概率公式 设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝． 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn （1）均值 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 核心知识点1：超几何分布 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，．即 X 0 1 … k … r P … … 其中，，，，．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 超几何分布概率公式的推导： 由于事件表示从含有M件某类物品的N件物品中任取n件，其中恰有k件该类物品这一随机事件，因此它的样本空间为从N件物品中任取n件，由于任意一个样本点是等可能出现的，因此它有个样本点．而其中恰有k件该类物品，则必有件另一类物品，因此事件中含有个样本点．由古典概型的概率公式，知． 强调 在超几何分布中，随机变量X的取值k的最大值未必是该类物品的件数M，当抽取的物品的件数n不大于总体中该类物品的件数M（即）时，k的最大值为n；当抽取的物品的件数n大于总体中该类物品的件数M（即）时，k的最大值为M．故． 解读：（1）超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类型的小球等概率模型，其随机变量分别是正品（或次品）的件数、某种小球的个数． （2）超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆． 求甚解 1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是( ) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 归纳总结：对超几何分布的理解 （1）在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”．如果是有放回地抽取，就变成了n重伯努利试验，这时概率分布是二项分布．所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取． （2）若随机变量X满足：①试验是不放回地抽取n次；②随机变量X表示抽到两类中其中一类物品的件数，则该随机变量服从超几何分布． （3）超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③已知各类对象的个数；④从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数X的概率分布列． 【举一反三】 （22-23高二下·江西抚 ... ...
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