中小学教育资源及组卷应用平台 微专题20 极化恒等式、等和线、奔驰定理 [考情分析] 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁．奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强．一般难度较大． 一、极化恒等式 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则： ①·＝(||2－||2)(平行四边形模式)； ②·＝||2－||2(三角形模式)． 典例1 (1)(2023·洛阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·等于( ) A. B．－ C. D．－ (2)(2023·葫芦岛模拟)如图，在四边形ABCD中，＝4，·＝12，E为AC的中点.＝2，则·的值为( ) A．0 B．12 C．2 D．6 二、等和(高)线定理 等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立． (2)平面内一组基底，及任一向量′，＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过O点时，k＝0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 典例2 (1)(2023·泉州模拟)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是_____． (2)在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为上的一个动点，若＝x＋y，则3x＋y的取值范围是_____． 三、奔驰定理 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 典例3 (1) (2023·宜春模拟)设O为△ABC内部的一点，且＋2＋3＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( ) A. B. C．2 D．3 (2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 [总结提升] 1．极化恒等式的适用范围 (1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化． (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题． 2．等和(高)线定理的适用范围 主要解决平面向量系数和与差的问题． 3．奔驰定理的使用范围 对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系．但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案． 1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·等于( ) A．32 B．－32 C．16 D．－16 2．(2023·昆明模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则·的最大值为( ) A．30＋4 B．28＋8 C ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
