中小学教育资源及组卷应用平台 微专题18 解三角形中的范围与最值问题 [考情分析] 解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难度中等． 典例1 (2023·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin A－bsin B＝csin(A－B)． (1)求a的值； (2)若△ABC的面积为，求△ABC周长的最大值． _____ _____ _____ _____ _____ 典例2 (2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． _____ _____ _____ _____ _____ 典例3 (2023·惠州模拟)平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2. (1)当BD长度变化时，cos A－cos C是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． (2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，请求出S＋S的最大值． _____ _____ _____ _____ _____ [总结提升] 任何范围(最值)问题，其本质都是函数问题，解三角形中的范围(最值)问题也不例外．解三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种．一是用函数求解，二是利用基本不等式求解，常见的思路有： (1)余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案． (2)采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法． (3)巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值． (4)外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围． 1．(2023·成都模拟)已知钝角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，则最大边a的取值范围为( ) A．(3,5) B．(3，) C．(，5) D．(4,5) 2．(2023·九江模拟)在△ABC中，已知＝＋，则cos A的取值范围为( ) A. B. C. D. 3．(2023·南京模拟)在钝角△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若c＝btan C，则sin A－3cos C的最小值为( ) A．－ B．－2 C．－ D．－ 4．在△ABC中，若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值是( ) A. B．2 C．3 D．2 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b＝4，则( ) A．若c＝，则该三角形有两解 B．若a＝，则该三角形有两解 C．△ABC的周长有最大值12 D．△ABC的面积有最小值4 6．(多选)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的可能取值有( ) A．21 B．24 C．27 D．36 7．在锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是_____． 8.如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_____． 9．(2023·信阳模拟)如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，CD＝，且AB＝BD＝DA. (1)若AB＝，求cos∠ABC的值； (2)求四边形ABCD面积的最大值． _____ _____ _____ _____ _____ 10．(2023·南宁模拟)请从①cos 2C＋cos C＝0；②sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0； ③ccos B＋(b－2a) ... ...
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