中小学教育资源及组卷应用平台 微专题17 正弦定理、余弦定理 [考情分析] 解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三角形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性较强，难度中等． 典例1 (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． _____ _____ _____ _____ _____ 典例2 (2023·聊城模拟)在四边形ABCD中，AB∥CD. (1)证明：AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD； (2)若AD＝1，AB＝3，BC＝，∠BAD＝2∠BCD，求△BCD外接圆的面积． _____ _____ _____ _____ _____ 典例3 (1)(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)( ) A．346 B．373 C．446 D．473 (2)(2023·南京模拟)一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向，与灯塔S相距a海里，随后货轮按北偏西30°的方向，以每小时20(－)海里的速度航行30分钟后 到达N处，又测得灯塔S在货轮的东北方向，则a等于( ) A．20 B．40 C．40－20 D．40＋20 [总结提升] 1．正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． 2．解三角形实际问题的步骤 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 2．(2023·天津模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a＋b－c)(b＋c＋a)＝3ab，且sin C＝2sin Bcos A，那么△ABC是( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．(2023·长沙模拟)逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”．如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0
B，则sin A>cos B B．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形 C．若A>B，则sin A>sin B D．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个 6．(多选)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则( ) A．sin∠CBD＝ B．△ABC的面积为8 C．△ABC的周长为8＋4 D．△ABC为钝角三角形 7．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝_____. 8.如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝_____. 9．(2023·武汉模拟)在△ABC中，D为边BC上一点，∠BAD＝90°，∠B＝∠DAC,12BD＝7AC. (1)求tan 2B； (2)若AB＝7，求△ABC内切圆的半径． _____ _____ _____ _____ _____ 10．(2023·临沂模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝，∠ABC＝，cos ∠ACD＝. ( ... ... 
