第五章综合 第二课 提炼本章思想 题型一 数形结合思想 例1. （2024下·湖南岳阳·高二校考开学考试） （1）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． （2023下·陕西西安·高二期中） （2）若函数的导函数图象如图所示，则（ ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 【答案】（1）D （2）A 【详解】（1）函数函数的定义域为， 设，则， 故为偶函数，其图象关于y轴对称，则B中图象错误； 又当时，，， 由，得，由，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 结合选项A，C，D中图象可知只有D中图象符合题意， 故选：D （2）（2）对于A，由图可知，当时，；当时，. 所以为函数的极小值点，故A正确； 对于B，有图可知，当时，， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，由图可知，当时，，当且仅当，， 所以在上单调递增，故C错误； 对于D，由图可知，当时，单调递增，所以，故D错误. 故选：A. 【方法总结】 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： （1）准确画出函数图象，注意函数的定义域． （2）用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解. 【变式训练1-1】 （2023·高二单元测试） 1．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ） A． B． C．2 D．1 【变式训练1-2】 （2024下·高二课时练习） 2．已知函数，若关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二 分类讨论思想 （2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习） 例2.已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，然后分,两种情况讨论，得到的单调性，然后可建立不等式求解. 【详解】由可得， 当时，，在上单调递增，不满足题意； 当时，由得，由得 所以在上单调递减，在上单调递增， 要使得函数在区间上不是单调函数， 则有，解得：. 故选：C 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想. 【方法总结】解分类问题的步骤 （1）确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． （2）对所讨论的对象进行合理的分类． （3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决． （4）归纳总结：将各类情况总结归纳. 【变式训练2-1】 （2024下·高二课时练习） 3．（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【变式训练2-2】 （2023下·四川自贡·高二统考期末） 4．函数恰有个单调区间的必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】 （2023·高二校考课时练习） 5．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 . 题型三 转化与化归思想 （2024上·福建福州·高二福州三中校考期末） 例3．函数在上单调递减，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数性质进行分析得出在上恒成立. 【详解】在上恒成立，当时, 满足题意， 当时, 且,即解得所以, 当时，函数的对称轴为, 所以只需,即所以，所以， 综上. 故答案为：. 【提醒】转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略． 【变式训练3-1】 （2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第 ... ...
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