第九章计数原理、概率、随机变量及其分布专题专题11二项式定理中部分项的系数和问题 学案（含解析） 2024年高考数学复习 每日一题之一题多解

专题11 二项式定理中部分项的系数和问题 【 2024届广东省江门市高考模拟考试数学试题（一模）】 已知．则的值是（ ） A．680 B．－680 C．1360 D．－136 根据原式系数特征，直接代入和，进而将两式相加，结合等比数列求和公式计算即可得到答案. 解：记， 则在已知等式中，令得，① 在已知等式中，令得，② 由①＋②得， ． 即，选B． 1．若，且，则（ ） A．42 B．1092 C．1086 D．6 2．设，若，则＝（　　） A．256 B．136 C．120 D．16 3．若，则（ ） A．257 B．129 C． D． 4．的展开式的各项系数和是（ ） A． B． C． D． 根据二项式定理的相关概念写出每一项的表达式，结合组合数的计算公式与相关性质逐一求解再求和即可. 解： 的展开式通项为 （注：上述过程利用此公式———） 5．若，则（ ） A． B． C． D． 先通过换元将原式进行化简，再通过变形与赋值的方法，结合等比数列求和公式求得答案. 解：由已知，令，则， ，① ， 即，② 由①＋②得 令代入上式得 ． 6．已知，则（ ） A． B．1 C． D．0 7．已知，则下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 8．设，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 9．已知，则（ ） A． B． C． D． 通过换元的方法化简原式，结合奇数项与偶数项特征，求得偶数项各项的通项公式，进而求和计算即可. 解：由已知， 令，则， ， 设， 且的展开式中t的奇次方项系数和记为，t的偶次方项系数和记为，则 令得；令得，． 因此． 10．已知.求： (1)； (2)； (3). 11．设，则结论正确的是（ ） A． B． C． D．，，，，，，中最小的是 12．对任意实数x，有．则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 13．若将函数表示为， 其中为实数，则（　　） A． B． C． D． 14．若，则下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D． 15．若则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 16．已知，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 17．已知，则 . 18．设，则 ． 19．若，求： (1)各项系数之和； (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 20．若，且. (1)求实数a的值； (2)求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．C 【分析】 取结合等比数列求和公式得到，计算得到答案. 【详解】取得到， 即， ，则. 故选：C. 2．A 【分析】 根据条件，通过赋值，即可求出结果. 【详解】 因为， 令，得到， 又，所以 故选：A. 3．B 【分析】 令得，令得，相减即得结论． 【详解】 令，则，令，则，所以． 故选：B． 4．D 【分析】的展开式的各项系数和为，求出即得解. 【详解】的展开式的各项系数和为， 所以. 故选：D. 【点睛】结论点睛：关于二项式展开式的系数和问题，一般先设其为，再求即得解. 5．AC 【分析】 根据展开式的形式结合二项式定理，逐项赋值判即可. 【详解】①，令，则，故A正确， 易知，故B错误； 令，则，故C正确； 对①两边求导可得：② 令，得， 则， 两式相减得， 所以，故D错误． 故选：AC． 6．A 【分析】 首先利用换元，转化为，再去绝对值后，赋值求和. 【详解】 因为， 令，可得， 则， 二项式的展开式通项为（且）， 则（且）. 当为奇数时，，当为偶数时，， 因此，令可得 . 故选：A. 7．BC 【分析】利用换元法将题设条件转化为，再利用赋值法判断ACD，利用二项展开通项公式判断B，从而得解. 【详解】因为， 令，则，所以， 对于A，令，得，故A错误； 对于B，因为的展开通项公式为， 令，则，故B正确； 对于C，令，得，故C正确； 对于D，令，得， 两式相减，得，故D错误. 故选：BC. 8．AB 【分析】 令，则，将原式变形，对于，为第二项的系数，由二项式定理即可求解；对于，令，即可得；对于，令，可求，令，即可求解；对于，令，即可求解. 【详解】令，所以， 所以 ... ...