第10题动静转换求范围，构造函数是关键 学案（含解析） 2024年高中数学三轮复习之一题多解

第10题 动静转换求范围，构造函数是关键 若函数在区间上恒为正数，求实数a的取值范围． 由题意，原问题等价于①或② 在上恒成立，问题的难点是如何解答这两组含参数不等式组，不同的视角必然会产生难易不同的解法． 构造函数，分类讨论的最值满足上述不等式. 令，其对称轴为． ⅰ当时，，在上单调递增，，解得． ⅱ当，即，，则解得． 当，即时，在上单调递增．， 得，故． 当，即时，，得，矛盾，舍去． 当时，即时，在上单调递减．， 得，矛盾，舍去．故a的取值范围为． 综上，实数a的取值范围为． 【点评】此种思路易得，但过程较为繁琐. 1．设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 对于的情况相对简单，沿用上述解法，对于的求解过程作出改进，采用由特殊到一般的思维过程，从而简化了分类讨论. 令，其对称轴为． ⅰ当时，，在上单调递增．，得． ⅱ当时，对恒成立． 故解得． 则由，在上单调递增．可得． 综上，实数a的取值范围为． （23-24高一上·江苏扬州·阶段练习） 2．已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 通过对不等式的分析变形为，构造函数，运用数形结合求解更显简洁直观，对于的情况，沿用解法一 ⅰ令，其对称轴为． 当时，，在上单调递增，，解得． ⅱ当时，可转化为在上恒成立， 令，即当时，对恒成立，即． 由得，如图6-1所示可知，． 解得． 综上，实数a的取值范围为． （23-24高一上·广东深圳·期末） 3．已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 由题意，原问题等价于①或②在上恒成立. 对①②中的不等式实施参变分离，构造关于的二次型函数，通过求新函数的最值确定a的取值范围． ⅰ当时，等价于对恒成立． 令，即对恒成立， 则． ⅱ当时，等价于对恒成立． 即，令． 易得，，可得． 综上，实数a的取值范围为． （23-24高一上·河南驻马店·期末） 4．已知定义在上的函数，且是偶函数． (1)求的解析式； (2)当时，记的最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围． 由题意，原问题等价于①或②在上恒成立. 对①②中的不等式剥离出，构造函数和直线方程，应用数形结合思想，通过时两个函数图像之间的关系求解，体现了解决问题的直观性. ⅰ当时，对恒成立． 即当时，的图像在的图像上方． 是下凸函数，以代入不等式，得． ⅱ当时，，． 当图像经过点时，二次函数为． 当图像经过点时，二次函数为． 结合图像均为下凸函数，故． 综上，实数a的取值范围为． （23-24高一上·上海·期末） 5．若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 由题意，原问题等价于①或②在上恒成立. 对①②中的不等式剥离出，构造函数和直线方程，动静角色转换．方法五中在运动中，线段是确定的，而这里是确定的，线段，在运动中，这两种解法的直观性是明显的，由于涉及曲线段与直线段的位置关系，详细讨论会显得复杂，简单处理则解题严谨性不够，供读者参考 ⅰ当时，对恒成立． 的图像在的图像上方（），以点代入，可得； ⅱ当时，对恒成立， 即时，函数的图像在和的图像之间，以点代入，以点代入，结合函数图像下凸的特点可知． 综上，实数a的取值范围为． （2020·北京·高考真题） 6．已知函数，则不等式的解集是（ ）． A． B． C． D． （23-24高一上·贵州铜仁·期末） 7．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2024高一·全国·专题练习） 8．定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . （2024高三·全国·专题练习） 9．已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是 . （23-24高一上· ... ...