第2题 条件探求与判断，转化构造直接法 （1）已知，.若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. （2）求关于x的方程的两个实根均大于1的充要条件. 解不等式求集合A、B，再求，，利用是的充分不必要条件是.画数轴得不等式组解之. ， ∴或. . ∵，∴. ∴或. ∵是的充分不必要条件， 又∵，把不等式的解表示在数轴上，如图2-1所示. ∴解得. 【点评】 1.探求问题的充要条件结构思想是核心，即进行条件与结论之间的双向等价转化.用集合观点处理充要条件问题可以使我们对条件的判断更加清晰简明. 2.假设条件甲和结论乙分别对应于集合A和B（它们包含于同一个全集），如果，则A为B的充分条件，特别地，如果，则称A为B的充分不必要条件.如果，则A为B的必要条件，特别地，如果，则称A为B的必要不充分条件.如果且，即，则称A为B的充要条件.如果以上3种关系均不成立，即A、B之间无包含或相等关系.则A既不是B的充分条件也不是B的必要条件，即A是B的既不充分.又不必要条件. （2024·江西南昌·一模） 1．已知，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由的逆否命题是：，利用B是A的充分不必要条件，通过画数轴求得m的取值范围. ， . ∵，∴. 得，.若，则有，如图2-2所示. ∴解得. 【点评】判断命题的真假，可直接判断.如果不易判断，可根据“互为逆否命题的两个命题是等价命题”来判断.将问题不断地进行等价转化是探求充要条件的一个有效途径，它可以将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，从而有利于问题的解决，简言之，探求问题的充要条件结构思想是核心，即进行条件与结论之间的双向等价转化. 2．已知p3+q3=2,求证:p+q≤2. 从方程角度入手，运用判别式及韦达定理建立不等式组求解. 设方程的两个实根为，，则 解得，故所求的充要条件是. （2024·广东·一模） 3．已知且，则“的解集为”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 讨论一元二次方程的解，通过转化（构造）二次函数，结合函数图象特征寻求充要条件.. 由， 记，所求充要条件为 解得，故所求的充要条件是. （23-24高三上·湖南娄底·期末） 4．已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“"的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 讨论一元二次方程的解，结合二次函数图象特征寻求充要条件. 由，记，所求充要条件为 解得，故所求的充要条件是. （23-24高一下·湖南长沙·开学考试） 5．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ） A． B． C． D． （23-24高三上·江苏南京·期中） 6．已知命题，，则的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． （2024·吉林白山·一模） 7．“”是“方程有唯一实根”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 （2022高三上·河南·专题练习） 8．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． （23-24高一上·福建·期中） 9．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． （22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习） 10．已知命题，为真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．A 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数定义域和基本不等式求最值，利用集合包含关系可得. 【详解】由，得， 设， 由的否定为， 令，当且仅当时，又，即等号成立， 若，则， 若，则， 设，因为，所以且， 所以是的充分不必要条件 故选：A 2．假设p+q>2, ... ...
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