2024年高考数学导数及其应用易错专项训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年高考数学导数及其应用易错专项训练 一、单选题 1．已知二次函数的图象与轴交于、两点，图象在、两点处的切线相交于点．若，则的面积的最小值为（ ）． A． B． C． D． 2．已知函数，若，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．设点(异于原点)在曲线上，已知过的直线垂直于曲线过点的切线，若直线的纵截距的取值范围是，则（ ） A．2 B．1 C． D． 4．我们把函数图象上任一点的横坐标与纵坐标之积称为该点的“积值”．设函数图象上存在不同的三点A，B，C，其横坐标从左到右依次为，，，且其纵坐标均相等，则A，B，C三点“积值”之和的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 6．已知函数在区间内有且只有一个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ） A． B．50 C．49 D． 8．已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A． B．既有极大值又有极小值 C．若方程有4个根，则 D．若，则 10．已知定义在上的函数，其导函数分别为，且， 则（ ） A．的图象关于点中心对称 B． C． D． 11．已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的最小值是 ． 13．已知定义在上的函数满足，当时，.若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围为 . 14．已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，`满足，则 . 四、解答题 15．已知为函数的导函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，． 16．已知函数． (1)当时，判断的零点个数并说明理由； (2)若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数． (1)如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值． 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，证明：. 19．根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导． (1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值． (2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值． (3)①若为实数，且，证明：． ②设，求的最小值． 参考答案： 1．C 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设，， 则与是方程的两根， 则，， ， 又， 则函数在点处的切线方程为， 同理函数在点处的切线方程为， 则，解得， 即点， 则，当且仅当时等号成立， 故选：C. 2．C 【分析】先判断函数自变量大小可得，再根据函数在上的单调性判断即可. 【详解】因为，， 所以， 当时，， 因为，所以在上单调递增， 所以， 故选：C. 3．B 【分析】设，求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而表示出直线的方程，即可得到直线的纵截距，再令，当时利用均值不等式计算可得，当时推出矛盾. 【详解】设 ... ...