中小学教育资源及组卷应用平台 微专题26 球的切接问题 [考情分析] 求解空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，常用的方法为补形法或者利用多面体的面作垂线，垂线的交点即为球心；求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径，常用切线长定理、等体积法等．球的切接问题是高考中的热点，一般为中档题． 典例1 (1)(2023·东北三省三校联考)“阿基米德多面体”被称为半正多面体(semi－regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知AB＝，则该半正多面体外接球的表面积为( ) A．18π B．16π C．14π D．12π (2)(2023·杭州模拟)空间中四个点A，B，C，M满足AB＝BC＝AC＝3，CM＝2，且直线CM与平面ABC所成的角为60°，则三棱锥A－MBC的外接球体积最大为( ) A．36π B．48π C．32π D．48π 典例2 (1)如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB＝a，则该模型中5个球的表面积之和为_____． (2)(2023·益阳质检)金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为18，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是( ) A．18π B．9π C．6π D.π 典例3 (2023·开封模拟)已知棱长为6的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为( ) A. B．2 C. D．2 [总结提升] 1．几何体的外接球，常用的方法有构造法、截面法． 2．几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径． 1.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为(容器壁的厚度忽略不计)( ) A．96π B．84π C．42π D．16π 2．(2023·江苏四市调研)已知正四面体P－ABC的棱长为1，点O为底面△ABC的中心，球O与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为( ) A. B. C. D. 3．(2023·德阳模拟)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于( ) A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数 4．(2023·广东联考)已知某圆锥的内切球(球与圆锥侧面、底面均相切)的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为( ) A．32π B．28π C．24π D．20π 5．(2023·桂林模拟)已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S－ABC体积取最大时，其外接球的体积为( ) A. B. C. D. 6．(多选)某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有( ) A．多面体ABC－DEF的体积为 B．经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为 C．异面直线AD与CF所成角的余弦值为 D．球离球托底面 ... ...
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