2.1 平均变化率与瞬时变化率 【学习目标】 1.结合具体的实例理解函数的平均变化率的概念,会根据具体函数求出函数的平均变化率,提升学生的数学建模和数学运算素养.(数学建模) 2.结合具体情境,掌握以直代曲的数学思想,提高分析问题、解决问题的能力.(逻辑推理) 3.通过具体的实例理解平均速度的概念,能够明确平均速度和平均变化率之间的关系.(数学抽象) 4.知道函数的瞬时变化率的概念,能够结合具体实例,理解瞬时变化率的几何意义,提升学生的数学建模和逻辑推理等素养.(逻辑推理) 【自主预习】 很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 1.近似地将气球看成一个球体,气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的函数关系是什么 【答案】 r(V)=. 2.气球中空气容量V从0增加到1 L时,气球的平均膨胀率是多少 【答案】 当V从0增加到1 L时,气球半径增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm), 气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L). 3.气球中空气容量V从1 L增加到2 L时,气球的平均膨胀率是多少 【答案】 当V从1 L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16 (dm), 气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L). 4.气球中空气容量的变化情况与它的平均膨胀率有什么关系 【答案】 可以看出,随着气球中空气容量逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)=c(c为常数)在区间[x1,x2]上的平均变化率为0. ( ) (2)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况. ( ) 【答案】 (1)√ (2)√ 2.若一质点按规律s=8+t2运动,则它在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( ). A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1 【答案】 B 【解析】 ====4.1,故选B. 3.函数f(x)=x2-2在x=3处的瞬时变化率为 . 【答案】 6 【解析】 ===6+Δx,当Δx→0时,→6,即函数f(x)=x2-2在x=3处的瞬时变化率为6. 【合作探究】 探究1 平均速度 小蒙骑自行车由静止沿直线运动,他在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内通过的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m. 问题:你能求出小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度吗 【答案】 小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度==2.5(m/s). 新知生成 1.设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),在t0到t0+Δt这段时间内,物体运动的平均速度==. 2.在匀速直线运动中,比值是恒定的.在非匀速直线运动中,比值不是恒定的.要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度.注意结合物理学中的. 新知运用 例1 已知某物体的运动方程为s=t2+2t(s的单位:m,t的单位:s).求: (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度; (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度; (3)该物体在t0≤t≤t0+Δt这段时间里的平均速度. 【解析】 (1)∵Δt=3,Δs=s(3)-s(0)=15, ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度==5(m/s). (2)∵Δt=3-2=1,Δs=s(3)-s(2)=7, ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度==7(m/s). (3)∵Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=(2t0+2)·Δt+(Δt)2, ∴该物体在t0≤t≤t0+Δt这段时间里的平均速度==2t0+2+Δt. 以v0(v0>0)为初速度做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2(g为常数),求该物体从t0到t0+Δt的平均速度. 【解析】 ∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-v0t0-g=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2, ∴=v0-gt0-gΔt, 即该物体从t0到t0+Δt的平均速度为v0-gt0-gΔt. 探究2 平均变化率 现有某市2023年3月和4月某天日最高气温记录如下表. 时间t/d 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃ 4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快”. 问题:如何从数学的角度刻画气温“陡升” 【答案】 3月18日至4月18日平均变化率是≈0.5(℃);4月18日至20日平均变化率是=7.4(℃ ... ...
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