2023-2024学年福建省莆田四中高一（下）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数是纯虚数，则实数( ) A. B. C. D. 3.已知平面向量，满足，，且，则与的夹角是( ) A. B. C. D. 4.在中，若，，，则( ) A. B. C. D. 5.在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则( ) A. B. C. D. 6.在中，角，，所对的边分别是，，，，，则是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 7.如图，已知正方形的边长为，若动点在以为直径的半圆上正方形内部，含边界，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.图是世界最高桥贵州北盘江斜拉桥．图是根据下左图作的简易侧视图为便于计算，侧视图与实物有区别在侧视图中，斜拉杆，，，的一端在垂直于水平面的塔柱上，另一端，，，与塔柱上的点都在桥面同一侧的水平直线上．已知，，，根据物理学知识得，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 在上的投影向量为 10.判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心重心、内心、外心、垂心有着神秘的关联它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且以下命题正确的有( ) A. 若：：：：，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若，，为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 12.已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，下列说法正确的有( ) A. 当位于点时，的值最小 B. 当位于点时，的值最大 C. 的取值范围为 D. 的取值范围 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知向量，，若，则 _____． 14.在中，若，，，则的最大角与最小角之和是_____． 15.在中，若为，的交点，满足，则的值为_____． 16.在中，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是_____． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知复数，其中为虚数单位，． 若为实数，求的值； 若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值． 18.本小题分 设是不共线的两个非零向量。 若，求证：三点共线； 若与共线，求实数的值； 19.本小题分 中，角，，所对的边分别为，，，，，． ，时，求的长度； 若为角的平分线，且，求的面积． 20.本小题分 已知向量，函数． 求函数的最大值及相应自变量的取值； 在中，角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围． 21.本小题分 已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，为长度单位现准备过点修建一条长椅点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计，以供购买冷饮的人休息． 求点到点的距离； 为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值． 22.本小题分 在中，，，对应的边分别为，，，． 求； 奥古斯丁路易斯柯西年年，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用现在，在的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等 ... ...
