2.3双曲线同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

2.3 双曲线 同步练习 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．已知O为坐标原点，直线与双曲线相交且只有一个交点，与椭圆交于M，N两点，则面积的最大值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 5．已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ） A．一个离心率为的椭圆上 B．一个离心率为2的双曲线上 C．一个离心率为的椭圆上 D．一个离心率为的双曲线上 7．已知椭圆与双曲线有且仅有两个交点，若椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长为（ ） A．2 B．4 C． D． 8．已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ） A．若圆与圆内切，则圆与圆内切 B．若圆与圆外切，则圆与圆外切 C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆 D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线 二、多选题 9．已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（ ） A．C的离心率为 B．C的焦距为2 C．平面上存在两个定点A，B，使得 D．的最小值为 10．已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B．记直线的斜率分别为，若，则（ ） A．为定值 B．为定值 C．的最大值为2 D．的最小值为4 11．关于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ） A．可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2 B．若为双曲线，则为钝角 C．若为锐角，则为焦点在轴上的椭圆 D．若为椭圆，为椭圆上不与长轴顶点重合的点，则 12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（ ） A．的渐近线方程为 B． C．直线的斜率为 D．的坐标为或 三、填空题 13．已知分别是双曲线的左、右焦点，是平面内与不重合的点，关于的对称点为，线段的中点在双曲线的左支上，，双曲线的一条渐近线与圆（为双曲线的半焦距）相交所得弦长为2，则该双曲线的标准方程为 ． 14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M，N都在双曲线C的左支上，是正三角形，点到直线的距离为2，则双曲线C的实轴长的取值范围是 ． 15．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与一条渐近线交于点（异于点），直线与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 16．双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ． 四、解答题 17．已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且． (1)求的方程； (2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标． 18．已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点． 19．我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光 ... ...