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课件网) 17.3勾股定理的逆定理 复习导入 问题一：我们已经学习过一种判定直角三角形的方法，还记得是什么吗？ 问题二：勾股定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c， 那么a2+b2=c2. 它是真命题吗？ 逆命题：如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角 形是直角三角形。 知识点一： 由边的数量关系判定直角三角形 如果△ABC的三边a，b， c满足a2+b2=c2，那么∠C是直角吗？ 在△ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出∠C是直角较难做到.若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助于全等的性质来说明∠C是直角. 感悟新知 a c b 已知：如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b， 且 a2 + b2 = c2. 求证：∠C=90°. 证明：如图(2)作△A′B′C′，∠C′ = 90°，B′C′ = a， C′A′=b.由勾股定理，可得 A′B′2 =a2+b2. ∵a2+b2=c2, ∴ A′B′2= c2， 即A′B′=c. 在△ABC和△ A′B′C′中， ∵ BC= B′C′ = a，AC = A′C′= b，AB= A′B′=c， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠C=∠C′ = 90°(全等三角形的对应角相等). a c b (1) a c b A' B' C' (2) 如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理： a c b A B C 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答下列问题: 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 练一练 实验结果： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 利用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的一般步骤： （1）先比较三边a，b，c的大小，找到最长边； （2）计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方和相等.若相等，是直角三角形，并且最长边对应的角是直角；若不相等，则不是直角三角形. 知识点二： 勾股定理的逆定理的应用 1. 下面四组数中是直角三角形的一组边的是（ ） A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，3 D．21，28，35 D 2. 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它的三边长 分别是（ ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．3，4，6 D．4，6，8 B 牛刀小试 如图，是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得 AB=4 cm，BC= 3 cm，CD =12 cm，AD = 13 cm，∠ABC=90°.根据这些条件，能否知道∠ACD =90° 典例分析 在△ABC中，∵∠ABC = 90°， ∴ AC2 =AB2 +BC2 (勾股定理). ∵AB=4，BC=3， ∴ AC2 = 32+42 = 52.∴ AC=5. 在△ACD中，∵ AC=5，CD = 12，AD= 13， ∴ AC2+CD2 = 52 +122=169，AD2 =132 =169. ∴ AC2+CD2=AD2. ∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理). 所以，根据这些条件，能知道∠ACD= 90°. 解： 利用勾股定理的逆定理构建直角三角形解决问 题的方法：先通过勾股定理的逆定理证明一个三角 形是直角三角形，然后利用直角得到另一个直角三 角形，在另一个直角三角形中运用勾股定理求边长， 这是勾股定理及其逆定理常用的综合解题思路，这 种方法常用在具有公共直角或者两直角互为邻补角 的两个直角三角形中． 归纳总结 解：∵AD是ΔABC的中线， ∴BD＝BC＝8. 在△ABD中，∵AB＝17，BD＝8，AD＝15， ∴AB2＝172＝289，BD2＋AD2＝82＋152＝64＋225＝289， ∴BD2＋AD2＝AB2， ∴△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴△ADC是直角三角形． 在Rt△ADC中，易知AC＝17， ∴AB＝AC. 如图，在△ABC中，AB＝17，BC ... ...
