专题6.2 平面向量的运算 同步讲练（含解析） 高中数学人教A版（2019）必修第二册

专题6.2 平面向量的运算【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 向量的加减运算】 【题型2 平面向量的混合运算】 【题型3 由平面向量的线性运算求参数】 【题型4 向量共线定理的应用】 【题型5 根据向量关系判断三角形的心】 【题型6 向量线性运算的几何应用】 【知识点1 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 （1）向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA，OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. （2）多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律：. 3．向量的减法运算 （1）相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. （2）向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. （3）向量减法的三角形法则 如图，已知向量，，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 （1）向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①；②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. （2）向量的数乘的运算律 设，为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. （3）向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有( )=. 【题型1 向量的加减运算】 【例1】（2023·云南·高二学业考试） 1．化简得（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习） 2．（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末） 3．如图所示，在中，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023上·广西南宁·高二校考开学考试） 4．下列各式中，化简后不是零向量的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中） 5．化简为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023上·北京·高二校考阶段练习） 6．设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023下·浙江·高一校联考阶段练习） 7．设是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习） 8．若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 【题型3 由平面向量的线性运算求参数】 【例3】（2023·山东·校联考模拟预测） 9．在正六边形中，，若，则（ ） A． B．3 C． D． 【变式3-1】（2022·高一课时练习） 10．在中，已知是边上一点，若，则（ ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 【变式3-2】（2022·河南·校联考模拟预测） 11．已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ） A．7 B．6 C．3 D．2 【变式3-3】（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试） 12．在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（ ） A． B． C． D． 【知识点2 向量共线定理】 1．向量共线定理 （1）向量共线定理 向量(≠0)与共线的 ... ...