专题6.5平面向量的应用 同步讲练（含解析） 高中数学人教A版（2019）必修第二册

专题6.5 平面向量的应用【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】 【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】 【题型3 用向量解决夹角问题】 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【题型5 向量与几何最值】 【题型6 向量在几何中的其他应用】 【题型7 用向量解决物理中的相关问题】 【知识点1 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 （1）用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. （2）向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0. ③求夹角问题，利用夹角公式：==. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||= . （3）向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】 【例1】（2023下·全国·高一专题练习） 1．在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【变式1-1】（2023·全国·高一随堂练习） 2．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形. 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习） 3．在四边形中， ，是上的点，且. 求证： . 【变式1-3】（2023下·全国·高一专题练习） 4．已知在四边形中，，求与分别满足什么条件时，四边形满足下列情况. (1)四边形是等腰梯形； (2)四边形是平行四边形. 【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】 【例2】（2023下·安徽安庆·高一校考阶段练习） 5．如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 【变式2-1】（2023下·河南信阳·高一校联考期中） 6．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【变式2-2】（2023·高一课时练习） 7．如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 【变式2-3】（2023下·山东济南·高一校考阶段练习） 8．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【题型3 用向量解决夹角问题】 【例3】（2023·全国·高一专题练习） 9．如图，在中，已知，，，且.求. 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习） 10．已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习） 11．已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【变式3-3】（2023下·福建厦门·高一统考期末） 12．在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【例4】（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习） 13．如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习） 14．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能 ... ...