课件编号19894310

专题7.3复数的三角表示 同步讲练(Word含解析) 高中数学人教A版(2019)必修第二册

日期:2024-06-16 科目:数学 类型:高中试卷 查看:56次 大小:848913Byte 来源:二一课件通
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专题7.3 复数的三角表示【六大题型】 【人教A版(2019)】 【题型1 复数的三角表示】 【题型2 求辅角主值】 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 【题型5 三角形式下的复数的乘、除运算】 【题型6 复数乘、除运算的几何意义的应用】 【知识点1 复数的三角表示式】 1.复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图,我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模,) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式,该式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连 (2)辅角的主值 显然,任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍.例如,复数i的辐角是+2kπ,其中k可以取任何整数.对于复数0,因为它对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz,即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值,并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型1 复数的三角表示】 【例1】(2023下·江苏苏州·高一统考期中) 1.欧拉公式是由18世纪瑞士数学家 自然科学家莱昂哈德 欧拉发现的,被誉为数学上优美的公式.已知,则( ) A. B. C. D. 【变式1-1】(2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中) 2.欧拉公式(其中为虚数单位,),是由瑞士著名数学家欧拉创立的,公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数的数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,的共轭复数为( ) A. B. C. D. 【变式1-2】(2023下·广东广州·高一校考期中) 3.欧拉公式(其中为虚数单位,)将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,则( ) A. B.为实数 C. D.复数对应的点位于第三象限 【变式1-3】(2023·四川成都·川大附中校考模拟预测) 4.欧拉公式(其中为虚数单位,)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式,下列选项正确的是( ) A.为虚数 B.函数不是周期函数 C.若,则 D.的共轭复数是 【题型2 求辅角主值】 【例2】(2023下·福建厦门·高一校考期中) 5.已知复数,则( ) A. B. C. D. 【变式2-1】(2023·高一课时练习) 6.的辐角主值为( ). A. B. C. D. 【变式2-2】(2023·高一单元测试) 7.设复数,则( ) A. B. C. D. 【变式2-3】(2023·全国·高一专题练习) 8.设,则复数的辐角主值为( ) A. B. C. D. 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 【例3】(2023·全国·高一专题练习) 9.计算( ) A. B. C. D. 【变式3-1】(2023·高一课时练习) 10.计算:( ). A.; B.; C.; D.. 【变式3-2】(2023·全国·高一专题练习) 11.在复平面内,复数对应向量为(为坐标原点),设,以射线为始边,为终边逆时针旋转所得的角为,则,法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则( ) A. B. C. D. 【变式3-3】(2023下·全国·高一专题练习) 12.棣莫弗公式(其中为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754年 ... ...

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