福建师大附中2023~2024学年上学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第I卷 选择题（共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线的倾斜角为，且过点，则它在轴上的截距为（ ） A.2 B. C.4 D. 2.已知数列满足，，则（ ） A. B. C.2 D.4 3.中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（ ） A.35石 B.48石 C.61石 D.74石 4.若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6.已知等差数列，前项和分别为，，若，则（ ） A.2 B. C.1 D. 7.已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8.已知直线恒过抛物线的焦点，且与交于点，，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线，，的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知曲线，，则（ ） A.的长轴长为4 B.的渐近线方程为 C.与的焦点坐标相同 D.与的离心率互为倒数 10.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A.数列是递增数列 B. C.当取得最大值时， D. 12.将数列中的所有项排成如下数阵： …… 已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数，，，…成等差数列，且，.从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，则（ ） A. B.位于第5行第9列 C. D.若，则位于第3行第5列或第8行第3列 第II卷 非选择题（共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是_____. 14.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为_____. 15.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为_____.（参考数据：，，，） 16.已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则_____，不等式成立的的最小值为_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17.已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的方程； （2）已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 18.已知数列满足，. （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式与最大值. 19.已知抛物线及该抛物线上一点. （1）过点作抛物线的切线，求该切线的方程； （2）过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值. 20.已知数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 21.已知数列是正项 ... ...
