2023-2024学年广东省深圳市宝安区宝安中学高二（下）月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为( ) A. B. C. 或 D. 2.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 3.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 4.设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.从，，，，，，，中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.若函数存在个极值点，则称为折函数，例如为折函数，已知函数，则为( ) A. 折函数 B. 折函数 C. 折函数 D. 折函数 7.已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设数列的前项和为，，则下列说法正确的是( ) A. 是等差数列 B. ，，成等差数列，公差为 C. 当或时，取得最大值 D. 时，的最大值为 10.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则( ) A. B. C. D. 11.已知函数，则下列结论正确的是( ) A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最大值为 D. 当时，方程有且只有两个实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数在上的最小值为，则 _____． 13.如图，用种不同的颜色对图中个区域涂色，要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有_____种． 14.已知函数，，，，都有，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； 过点作曲线的切线，若切线有且仅有条，求实数的值． 16.本小题分 已知双曲线：过点，且与双曲线：有相同的渐近线． 求双曲线的方程； 若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程． 17.本小题分 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立． 证明：； 当三棱锥与三棱锥的体积之和为时，求平面与平面所成角的余弦值． 18.本小题分 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现对数列，进行构造，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为． 设第次构造后得的数列为，，，，，，则，请用含，，，的代数式表达出，并推导出与满足的关系式； 求数列的通项公式； 证明：． 19.本小题分 已知函数． 讨论的单调性． 证明：当时，． 证明：． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由，得， 设，则， 曲线在点处的切线与直线垂直， 而直线的斜率为， ，即，解得． 点的坐标为或． 故选：． 求出原函数的导函数，设点坐标，利用切点处的导数值等于求解切点横坐标，则答案可求． 本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】 【解析】解：在棱长为的正方体中，为的中点， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 点到平面的距离为． 故选：． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 本题考查空间中点到平面的距 ... ...
