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课件网) 7.1.2 复数的几何意义 [目标导航] 课标要求 1.理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数. 2.了解复数模的概念及几何意义,会求复数的模. 3.了解共轭复数的概念及意义. 素养达成 通过复数几何意义的学习,使学生养成直观想象的核心素养. 1 新知导学 素养启迪 1.复平面 (1)定义: 来表示复数的平面叫做复平面. (2)实轴:在复平面内, 叫做实轴.实轴上的点都表示 . (3)虚轴:在复平面内, 叫做虚轴.除 外,虚轴上的点都表示 . (4)原点:原点(0,0)表示 . 建立直角坐标系 x轴 实数 y轴 原点 纯虚数 实数0 2.复数的几何意义 思考1:复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有怎样的对应关系 答案:一一对应. 思考2:有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系 答案:一一对应. 思考3:复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗 答案:能一一对应. 3.复数的模 思考4:我们知道,复数1+2i与复数2+2i是不能比较大小的,这两个复数的模分别是多少 能比较大小吗 4.共轭复数 (1)定义:一般地,当两个复数的实部 ,虚部 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 相等 互为相反数 (2)表示:复数z的共轭复数用 表示,即如果z=a+bi (a,b∈R),那么 =a-bi. (3)性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. (1)复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应. (2)研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系 考虑. 2 课堂探究 素养培育 题型一 复平面内的点与复数的对应关系 [例1] 实数m取什么值时,复平面内表示复数z=2m+(4-m2)i的点,(1)位于虚轴上; 解:复数z=2m+(4-m2)i对应复平面内的点P的坐标为(2m,4-m2). (1)若点P在虚轴上,则2m=0,即m=0. (2)位于第三象限. (1)复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都对应着一个有序实数对,复数的实部对应着有序实数对的横坐标,虚部则对应着有序实数对的纵坐标,只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值. (2)在复平面内确定复数对应点的步骤: ①由复数确定有序实数对,即z=a+bi(a,b∈R)确定有序实数对(a,b); ②由有序实数对(a,b)确定复平面内的点Z(a,b). [变式与拓展1-1] 已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3) √ 题型二 复数与复平面内向量的对应关系 (1)根据复数与复平面内向量的对应关系,可知当复平面内向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数在复平面内对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的相互转化. (1)求点D对应的复数; (2)判断A,B,C,D四点是否在同一个圆上 并证明你的结论. 题型三 复数的模及其几何意义 (1)求|z1|与|z2|的值,并比较它们的大小; (2)设复平面内,复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|,复数z对应的点Z的集合是什么 解:(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|,即1≤|z|≤2. 因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1上和该圆外部所有点组成的集合,不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2上和该圆的内部所有点组成的集合,所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界). (1)两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. (2)复数模的几何意义是表示复数对应的点到原 ... ...
