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课件网) 6.2.3 向量的数乘运算 第1课时 向量的数乘运算及其几何意义 [目标导航] 课标要求 1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算律进行向量运算. 3.理解向量线性运算的概念,并能进行向量的线性运算. 素养达成 通过平面向量数乘运算的学习,培养学生的数学运算素养. 1 新知导学 素养启迪 1.向量的数乘运算 定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: (1)|λa|= ; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 ;当λ<0时,λa的方向与a的方向 . |λ||a| 相同 相反 思考:数乘向量为何还是向量 答案:由数乘向量的定义知,实数λ与向量a的积λa的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小,所以数乘向量还是向量. 2.向量的数乘运算法则 运算律:设λ,μ为实数,则有 (1)λ(μ a)= ; (2)(λ+μ)a= ; (3)λ(a+b)= . 特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. (λμ)a λa+μa λa+λb 3.向量的线性运算 向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1, μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. (1)实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如λ+a,λ-a是没有意义的. 2 课堂探究 素养培育 题型一 向量数乘的定义及其几何意义 √ (1)当λ>0时,λa与a同向,当λ<0时,λa与a反向(a≠0). (2)当λ=0且a≠0时,λa=0,注意是0,而不是0. -4 题型二 向量的线性运算 9a 向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的数乘运算中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作向量的系数. (2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. √ 题型三 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法. (2)方程法. 当直接表示比较困难时,可以先利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. √ 解析:①③④正确,②错误,7(a+b)-8b=7a+7b-8b=7a-b.故选C. √ 解析:对于①,若a=0,则任意一个非零实数与向量a的积都是零向量,故①不正确; 对于②,零与任意一个向量a的积都是零向量,故②不正确;③正确. 故选D. √
