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课件网) 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 [目标导航] 课标要求 1.理解平面向量基本定理,理解向量的基底的含义. 2.会用选定的一个基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 素养达成 通过平面向量基本定理的学习,培养学生的数学抽象素养. 1 新知导学 素养启迪 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. (2)基底:我们把 的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作{e1,e2}. 思考1:当a是零向量时,向量a怎样用基底{e1,e2}表示 答案:a=0·e1+0·e2. 不共线 2.三点共线的结论 (1)平面向量基本定理中,实数λ1,λ2的唯一性是相对于基底{e1,e2}而言的,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一个基底,则给定向量沿基底方向的分解是唯一的. (2)只有两个向量不共线时,它们才能作为一个基底,零向量不可以作为基底,基底的选取是不唯一的. 2 课堂探究 素养培育 题型一 对平面向量基本定理的理解 √ 解析:(1)①③中的向量不共线,可以作为基底,②④中的向量共线,不能作为基底.故选B. (2)下列说法中,正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ③零向量不可作为基底中的向量; ④对于平面内的任一向量a和一个基底e1,e2,使a=λe1+μe2成立的实数对一定是唯一的. A.①②④ B.②③④ C.①③ D.①③④ √ 解析:(2)因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一个基底,故②③正确,①不正确;由平面向量基本定理知④正确.综上可得②③④正确.故选B. 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一个基底,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作为基底,若不共线,则可作为基底. √ 解析:由题意e1,e2是表示平面内所有向量的一个基底,A选项中找不到一个非零实数λ使得e1+e2=3λ(e1-e2)成立,故A中向量不共线,可作为一个基底; B选项中,存在一个实数-2使得4e2-6e1=-2(3e1-2e2),两向量共线,故不能作为一个基底; C选项与D选项中的两个向量均是不共线的,可以作为一个基底.故选B. 题型二 用基底表示向量 √ 用基底来表示向量主要有以下两种类型 (1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解. (2)若直接利用基底表示比较困难,则采用方程思想求解. √ 题型三 平面向量基本定理的应用 √ √ √ √ √ 5
