湖南省多校2024届高三下学期4月大联考数学试题（含解析）

湖南省多校2024届高三下学期4月大联考 数学 （试题卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.本试题卷共7页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.的展开式中，的系数是（ ） A.160 B.-160 C.220 D.-220 2.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3.若复数满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 4.原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：） A.4小时 B.5小时 C.6小时 D.7小时 5.已知直线与抛物线有唯一交点，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 6.在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ） A. B. C. D. 7.将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 8.使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分 9.已知直线，圆，则（ ） A.过定点 B.圆与轴相切 C.若与圆有交点，则的最大值为0 D.若平分圆，则 10.把边长为的正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时（ ） A. B.直线与平面所成角的大小为 C.平面与平面夹角的余弦值为 D.四面体的内切球的半径为 11.已知函数是定义在上的连续函数，且在定义域上处处可导，是的导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知公比为2的等比数列满足，则_____. 13.函数的图象在与处的切线斜率相同，则的最小值为_____. 14.若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是_____. 四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤. 15.（13分）已知函数. （1）求的单调区间； （2）求的极值. 16.（15分）多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值。在某个物种数目为的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数.当越大时，表明该群落的多样性越高. 已知两个实验水塘的构成如下： 绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻 6 6 6 6 6 12 4 3 6 5 （1）若从中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率； （2）（i）比较的多样性大小； （ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素. 17.（15分）如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 18.（17分）已知椭圆，焦点在轴上的双曲线的离心率为，且过点，点在上，且在点处的切线交于两点. （1）求直线的方程（用含的式子表示）； （2）若点，求面积的最大值. 19.（17分）若数列在某项之后 ... ...