第六章 章末练习（一）（含答案）

第六章 平面向量及其应用练习 一、单项选择题(本题共5小题,每小题6分,共30分) 1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=(　　) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1) 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(2b+c,sin C),向量n=(sin B,2c+b),且满足m·n=2asin A,则角A=(　　) A. B. C. D. 3.已知△ABC中,AB=2,AC=1,·=1,O为△ABC所在平面内一点,且满足+2+3=0,则·的值为(　　) A.-4 B.-1 C.1 D.4 4.已知锐角△ABC中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,acos C+a×sin C-b-c=0,若(ab-c)=btan B,则a的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D. 5.设θ为两个非零向量a、b的夹角,已知当实数t变化时,|a+tb|的最小值为2,则(　　) A.若θ确定,则|a|唯一确定 B.若θ确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则θ唯一确定 D.若|b|确定,则θ唯一确定 二、多项选择题(本题共2小题,每小题8分,共16分) 6.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,下列四个命题是真命题的是(　　) A.若==,则△ABC一定是等边三角形 B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形 D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 7.已知对任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)cos(α-β).设△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+.面积S满足1≤S≤2.记a,b,c分别为角A,B,C所对的边,则下列式子一定成立的是(　　) A.sin Asin Bsin C= B.2≤≤2 C.8≤abc≤16 D.bc(b+c)>8 三、填空题(本题共2小题,每小题6分,共12分) 8.已知a=(2,4),b=(1,3),则a在b方向上的投影向量的坐标为　　　　. 9.已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且a=1,bcos A-cos B=1,当A,B变化时,sin B-λsin2A存在最大值,则正数λ的取值范围是　　　. 四、解答题(共36分) 10.已知=(2,4),=(m,n),=(6,0),点O为坐标原点. (1)若A,B,C三点共线,且=,求; (2)若||=||,求||的最小值. 11.已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,a2=b2+bc,且sin C+tan Bcos C=1. (1)求角A的大小; (2)b=1,P为△ABC所在平面内一点,且满足·=0,求BP的取值范围,并求当BP取得最大值时四边形ABCP的面积S.(A,B,C,P四点按逆时针排列) 参考答案 1.答案：A 2.答案：C 3.答案：B 4.答案：D 5.答案：A 6.答案：AC 7.答案：CD 8.答案： 9.答案： 10.解析：(1)因为=(2,4),=(m,n),=(6,0), 所以=-=(m-2,n-4),=-=(4,-4). 因为=,所以(m-2,n-4)=(1,-1), 解得m=3,n=3. 所以=(3,3). (2)因为=(m,n),=(6,0), 所以=-=(6-m,-n). 因为=(m-2,n-4)且||=||, 所以=, 整理得m-n-2=0. ||===≥(当且仅当m=1,n=-1时取等号). 所以||的最小值为. 11.解析：(1)因为a2=b2+bc,所以a2-b2=bc, 所以a2+c2-b2=c2+bc,所以cos B===, 所以b+c=2acos B, 由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, sin B+sin(A+B)=2sin Acos B, 即sin B+sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B, 所以sin B=sin Acos B-cos Asin B,即sin B=sin(A-B), 因为A、B、C为三角形的内角,所以B=A-B,即A=2B, 又由sin C+tan Bcos C=1,可得sin C+=1, 可得sin(B+C)=cos B,所以sin A=cos B>0, 所以2sin Bcos B=cos B,可得sin B=, 因为B∈(0,π),且B是锐角,所以B=,A=. (2)由(1)可知C=,所以△ABC为直角三角形, 又因为·=0,所以PA⊥PC, 所以P点在以AC为直径的圆上,如图, 因为b=1,所以BC=,AB=2, 设O为AC的中点,连接BO,OP,BP,则BO==,OP=, 因为BO+PO≥BP,所以当B,O,P三点共线时,BP取得最值, 当点B,O,P三点共线且P在线段BO上时,BP取得最小值-, 当点B,O,P三点共线且P在线段BO的延长线上时,BP取得最大值+, 所以BP的取值范围为. 当BP取得最大值+时,如图. 设∠OCP=α,则∠COP=π-2α, 所以sin α==PA,cos α==PC, 所以S△PAC=PA·PC=sin αcos α=sin 2α,在Rt△BCO ... ...