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课件网) 5.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.通过单位圆推导同角三角函数的基本关系,提升逻辑推理、直观想象的核心素养. 2.通过同角三角函数基本关系的应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 1 知识梳理 自主探究 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: . sin2α+cos2α=1 tan α 2 师生互动 合作探究 角度1 sin α,cos α,tan α知一求二 利用同角三角函数的基本关系求值 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法 (1)已知角α的某一个三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系; (2)若角α所在的象限已经确定,求另两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. (3)记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题. (2)已知tan α=-2,求cos α,sin α. 角度2 已知正切值求值 (3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. 已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式. 针对训练2:已知tan α=3,求下列各式的值. (3)cos2α-3sin αcos α. 角度3 sin α±cos α,sin αcos α型求值问题 (1)求sin αcos α的值; (2)求sin α-cos α的值. 已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解,涉及的三角恒等式有: (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α. 上述三角恒等式告诉我们,若已知sin α+cos α,sin α-cos α, sin αcos α中的任何一个,则另两个式子的值均可求出. 三角函数式的化简与证明 角度1 三角函数式的化简 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的; (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的; (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 角度2 三角函数式的证明 (1)简单的三角恒等式的证明思路. ①从一边开始,证明它等于另一边. ②证明左、右两边等于同一个式子. ③逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简的目的. (2)证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则. ①常用技巧:切化弦、整体代换、“1”的代换等. ②原则:由繁到简,变异为同. √ 应用探究:已知3sin2α+2sin2β-2sin α=0,则cos2α+cos2β的取值范围为 . 1 2 3 4 √ 1.已知角α终边在第一象限,sin α=k,那么tan α的值为( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 A.sin 2+cos 2 B.sin 2-cos 2 C.cos 2-sin 2 D.-sin 2-cos 2 √ [例2] 若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα(n∈Z)的值为 . 解析:因为sin α+cos α=1,所以(sin α+cos α)2=1.又因为sin2α+cos2α=1, 所以sin αcos α=0,所以sin α=0或cos α=0. 当sin α=0时,cos α=1,此时有sinnα+cosnα=1; 当cos α=0时,sin α=1,此时也有sinnα+cosnα=1.所以sinnα+cosnα=1. 1 ... ...
