8.1.2样本相关系数 导学案（含解析） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.1.2 样本相关系数 导学案 学习目标 1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. 重点难点 1.重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法. 2.难点：求最小二乘估计，残差分析. 课前预习 自主梳理 知识点一 相关关系的刻画 1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． 2．样本相关系数 （1）我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据（xi，yi）的相关程度， 其中r＝. （2）样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． ①若r>0时，成对样本数据正相关； ②若r<0时，成对样本数据负相关； ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； ④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 知识点二 相关系数r的性质 （1）当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． （2）样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 知识点三 样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 r＝x′·y′＝|x′||y′|cos θ＝cos θ（其中x′＝（x1′，x2′，…，xn′），y′＝（y1′，y2′，…，yn′），|x′|＝|y′|＝，θ为向量x′和向量y′的夹角）． 自主检测 1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． (1)回归分析中，若说明之间具有完全的线性关系．( ) (2)若，则说明成对样本数据间是函数关系．( ) (3)样本相关系数r的范围是．( ) (4)变量之间只有函数关系，不存在相关关系．( ) (5)两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响．( ) (6)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．( ) (7)若相关系数，则两变量之间没有关系．( ) 2．在线性回归模型中相关指数越大，则模型的拟合效果（ ） A．越差 B．越好 C．与拟合效果的好坏没有关系 D．三者都不正确 3．在一组样本数据，，…，（不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 A．－1 B．0 C．2 D．1 4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ） A． B． C． D． 5．对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） A．0.2 B．0.8 C．－0.98 D．－0.7 新课导学 学习探究 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等．散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小． 能否像引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？ 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和．将数据以为零点进行平移，得到平移后的成对数据为，，…，． 并绘制散点图． 【师生活动】观察撒点图代表的数据的正负大小等特征，并根据特征尝试进行构造统计量. 预设结果：没有明显的特征 【师生活动】对数据进行中心化处理再观察数值特征 利用上述方法处理表8.1-1中的数据，得到图8.1-3．我们发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号． ... ...