6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时　余弦定理 导学案（含解析） 高中数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 第1课时　余弦定理 导学案 学习目标 1.掌握余弦定理的证明方法，牢记余弦定理公式，达到数学抽象核心素养水平一的要求. 2.能够从余弦定理得到它的推论，达到逻辑推理核心 素养水平一的要求. 3.能够应用余弦定理及其推论解三角形，达到数学运 算核心素养水平一的要求. 重点难点 1．重点： （1）探究和证明余弦定理的过程. （2）运用余弦定理解三角形. 2．难点： （1）利用向量法证明余弦定理的思路. （2）对余弦定理的熟练应用. 课前预习 自主梳理 知识点一　余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝a2＋c2－2ac cos B；c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 变形 cos A＝；cos B＝；cos C＝ 知识点二 三角形的元素与解三角形 （1）三角形的元素 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． （2）解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 自主检测 1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.( ) （2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) （3）在△ABC中，若，则△ABC一定为钝角三角形.( ) （4）在△ABC中，若，则△ABC一定为锐角三角形.( ) （5）在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) （6）余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) （7）在△ABC中，若，则∠A为锐角．( ) （2022·高一课时练习） 2．在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2023下·高一课时练习） 3．在中，已知点D在BC边上，，，，，则BD的值为（ ） A． B． C． D． （2021下·湖南郴州·高一嘉禾县第一中学校考阶段练习） 4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，．若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． （2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习） 5．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则为等腰或直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若为锐角三角形，则 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系 下面我们利用向量方法研究这个问题. 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么 环节二 观察分析，感知概念 探究 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究. 如图6.4-8，设，，，那么 ① 我们的研究目标是用，和C表示，联想到数量积的性质，可以考虑用向量 （即）与其自身作数量积运算. 由①得 所以 环节三 抽象概括，形成概念 同理可得， 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理: 余弦定理(lawofcosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 、 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出 ... ...