6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 导学案（含解析） 高中数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3第2课时正弦定理 导学案 学习目标 1.掌握正弦定理的概念与公式，理解正弦定理的推导过程，学会正弦定理在实际生活中的应用； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题，达到数学运算与逻辑推理核心素养水平一的要求. 3.通过观察，讨论，概括总结等活动，提高推理论证、运算求解等能力，感受数形结合等数学思想，培养数学抽象，空间想象，数学运算等数学学科核心素养. 重点难点 1.重点：掌握正弦定理的概念与公式，学会正弦定理在实际生活中的应用 2.难点：理解正弦定理的推导过程，学会正弦定理在实际生活中的应用 课前预习自主梳理 知识点一 正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等 知识点二 正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 （1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； （2）sinA＝，sinB＝，sinC＝； （3）sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c； （4）＝2R. 自主检测 1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）正弦定理不适用于直角三角形．( ) （2）在中必有．( ) （3）在中，若，则必有．( ) （4）在中，若，则必有.( ) （5）正弦定理只适用于锐角三角形.( ) （6）在中，等式总成立.( ) （7）在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.( ) （2023下·贵州黔东南·高一统考期末） 2．在中，，则外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． （2022下·湖北·高一校联考阶段练习） 3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（ ） A．是的充要条件 B．若，则一定是直角三角形 C．若，则 D．若满足条件，，的三角形只有一个，则x的最小值为2 （2022·高一校考课时练习） 4．在钝角中，，，且面积是，则（ ） A． B． C． D．或 （2023下·四川凉山·高一校联考期末） 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．满足，，的有两个 D．若角B为钝角，则 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题探究 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为: 在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题. 环节二 观察分析，感知概念 我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手. 根据锐角三角函数，在Rt△ABC中（如图6.4-9）， 有 显然，上述两个关系式在一-般三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得 又因为，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即 环节三 抽象概括，形成概念 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究. 我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式， 在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究. 思考 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现转化 由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系. 下面先研究锐角三角形的情形. 如图6.4-10，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 由分配律，得 即 也即 所以 同理，过点C作与垂直的单位 ... ...