第六章 空间向量与立体几何 压轴题专练（含解析） 高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册

第六章 空间向量与立体几何（压轴题专练） 题型一　共面向量定理的应用 【例1】 1．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明： (1)E，F，G，H四点共面； (2)平面EFGH． 思维升华　 证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥或∥). 巩固训练 2．已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，求的值. 题型二　空间向量基本定理的应用 【例2】 3．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为. （1）求的长； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 思维升华　 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算. 巩固训练 4．在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 题型三　平面法向量的应用 【例3】 5．已知. (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式. 思维升华　 在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示，具体步骤为：①求出平面的一个法向量；②求出平面内任意一点(x，y，z)与平面α内的一个已知点组成的向量；③利用平面的法向量与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解. 巩固训练 6．在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 题型四　　立体几何中的探索性问题 【例4】 7．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 思维升华　 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理. (2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算. 巩固训练 8．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？ 题型五　空间向量的概念及运算 【例5】 9．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求： （1）的长； （2）与夹角的余弦值. 巩固训练 11．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，，，的距离都等于2.以下选项正确的是（ ） A． B． C． D． 题型六　利用空间向量证明位置关系 【例6】 12．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 巩固训练 13．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 题型七　利用空间向量求距离 【例7】 14．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别为AB，AD的中点，平面ABCD，且，求点B到平面EFG的距离． 巩固训练 15．如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 题型八　利用空间向 ... ...