福建省南安市侨光中学2023-2024学年高一下学期第1次阶段考试（4月）数学试题（PDF版，含答案）

侨光中学 2024 年春高一第 1 次阶段考试数学试卷参考答案 选择、填空答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D C D B C 题号 9 10 11 答案 ABD AD ABD 题号 12 13 14 答案 4 3 100 6 [0,1] 8、【分析】设 AB x（尺），利用勾股定理可构造方程求得 AB，以A为坐标原点可建立平 面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】设 AB x（尺），则 AC x 1（尺）， AD 5（尺）， 52 x2 x 1 2，解得： x 12． 以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺）， 则 A 0,0 ，D 5,0 ，C 5,12 ， E 5,12 ， AC 5,12 ，DE 10,12 ， AC DE 50 144 94（平方尺）． 故选：C. 2 【解答过程】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为 ，有 12个顶点， 2 14个面（6个正方形，8个正三角形），它可由正方体去掉 8个三棱锥所剩部分，它的表面 积为 2 2 3 = 6 2 + 8 3 2 = 3 + 3 1 1 5，体积为 = 13 8 = ， 2 4 2 6 2 6 ∴①②④正确， 故选 ABD． 第 1 页 共 7 页 14、解：由题意，设 AN t AM ， 0 t 1 ， 当 t 0时， AN 0，所以 AB AC 0， 所以 0，从而有 0； 当0 t 1时，因为 AN AB AC（ ， R ）， AM 所以 t AM AB AC，即 AB AC， t t l m 因为M 、 B、C三点共线，所以 + =1，即 t 0,1 . t t 综上， 的取值范围是[0,1] . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15、(13 分）设向量 a,b满足 a b 3， a 3, b 2． (1)（5分）求向量 a,b的夹角； (2)（8分）求 a b ． π 【答案】(1) a,b 3 (2) 7 【详解】（1）因为 a b 3， a 3, b 2， 第 2 页 共 7 页 所以 cos a,b a b 3 1 a b 3 2 2 ，。。。。。。。。。（3分，其中公式对了给 2分） 又 a,b [0, π] 。。。。。。。。。。。（4分） π 所以 a,b .。。。。。。。。。。（5分） 3 （2） ..。。。。。。。。。8分 a b (a b)2 2 2 a 2a b b 。。。。。。。。。。。11分 9 2 3 4 7 。。。。。。。。。。13 分 16、（15 分）已知复数 1 = 2 , 2 = + 2 ( 为虚数单位)， ∈ ，且 1· 2为纯虚数． (1)（7 分）求 1 + 2 ； (2)（8 分）设复数 1， 2对应的点分别为 ， ，若四边形 为平行四边形( 为复平面的 原点)，求点 对应的复数 3． (1)由题， 1 = 2 + ，所以 1 2 = 2 + + 2 = 2 2 + + 4 ，。。。。。3 分 所以 2 2 = 0 且 + 4 ≠ 0，.。。。。。。4 分 解得 = 1。。。。。。。。。。。5 分 则 1 + 2 = 3 + = 10;。。。。。。。。。7 分 (1)因为四边形 为平行四边形，所以 = + ，。。。。。10 分 又因为复数 1， 2， 3对应的点分别为 ， ， ，。。。。。12 分 所以 1 + 3 = 2，。。。。。。。13 分 所以 3 = 2 1 = 1 + 3 ． .。。。。。。。15分 17．（15分） ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 3 bsinC csin B 4asin BsinC . (1)（6分）求角A； (2)（9 3分）若 a 7，且 ABC的面积为 ，求 ABC的周长. 2 a b c 【详解】（1）在 ABC中，由正弦定理得： sin A sin B sinC。。。。。。。。1分 所以 3 bsinC csin B 4asin BsinC可化为： 3 sinB sinC sinC sinB 4sin A sinB sinC.。。。。。。。。。3分 第 3 页 共 7 页 因为 A,B,C 0, π ，所以 sin BsinC 0，所以 sin A 3 .。。。。。。。。4分 2 π 2π 因为 A 0, π ，所以 A 或 A .。。。。。。。。。6分 3 3 （2）因为 ABC 3 1的面积为 ，所以 bcsin A 3 ,. 2 2 2 1 3 3 即 bc ，解得：bc 2 .。。。。。。7分 2 2 2 由余弦定理得： a2 b2 c2 2bc cos A .。。。。。。。。。。8分 A π 2 2 1 2 当 时， 有 7 b c 2bc ，所以7 b c 3bc，解得：b c 13 7 符合题3 2 意，。。。。。。。。。。。10分 所以 ABC的周长为 a b c 7 13 ..。。。。。。。。。11分 ... ...