2024届高三数学二轮复习素养提升点3-5 立体几何中的轨迹问题 讲义(原卷版+解析版)

素养提升点3-5 立体几何中的轨迹问题（解析版） 【考情透析】 立体几何中的轨迹问题是高考的难点之一，主要利用平行、垂直、定角、定长等性质分析动点的轨迹，根据轨迹解决一些简单问题，有时可以借助空间直角坐标系来探求变量关系，然后用函数的性质求解。 【归纳题型】 核心考点题型一 动点平行轨迹问题 【例题1】．（2023秋.山东威海高三模拟）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】根据已知，利用面面平行得到线面平行，再根据正方体的性质计算求解. 【详解】如图，取的中点，并连接、、， 因为E在棱上且满足，即E是棱的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又，所以平面平面，又平面， 所以平面，所以动点F在侧面上的轨迹即为， 因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：. 故答案为：. 【例题2】（2023·贵州铜仁第一中学校考开学考试）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题： ①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为； ②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为； ③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为； ④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为． 其中正确的命题个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由面，而面，则，又， 又，面，则面， 由面，则，同理， ，面，则面， 所以垂直于面所有直线，且面， 若，则在边长为的正△的边上， 故轨迹图形面积为，①对； 若分别为中点，连接， 由正方体的性质易得，， 所以共面，且为平行四边形，故面即为面， 由面，面，则面， 同理可得面，，面， 所以面面，要使∥平面，则在△的边上， 所以轨迹长为，②错； 若分别为的中点，连接，显然， 所以共面，即面， 由，面，面，则面， 又，同理可得面，，面， 所以面面，故面内任意直线都与面平行， 要使∥平面，则在四边形的边上运动， 此时轨迹长为，③对； 若分别是的中点，并依次连接， 易知为正六边形，显然，， 由面，面，则面，同理可得面， ，面，所以面面， 由面，则面，故垂直于面所有直线， 要使，则在边长为的正六边形边上运动， 所以轨迹图形面积为，④对； 故选：C 【例题3】（2023秋·广东梅州高三期末）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ） A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为 C．存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足 【答案】AD 【解析】 对于A，取的中点，的中点，又点为的中点， 由正方体的性质知，，，， 所以平面平面，又平面，平面， 故点的轨迹为线段，故A正确； 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，设，且，， ，， 对于B，，即， 又，，则点的轨迹为线段，， 且，故B错误； 对于C，设，且，， 若平面AMP经过点B，则，且， 又， 所以，即， 因此，从而，不合题意，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误； 对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短， 故，故存在点满足，故D正确． 故选：AD 【变式1-1】（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接，如图所示： 因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面. 又因为平面，， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以点在平面的轨迹为. 所以. 故答案为： 【变式1-2】．（2023秋·湖南岳阳高三期末）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ． 【答案】/ ... ...