(
课件网) 1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 1.通过已知的数学实例,理解全称量词、存在量词的意 义,提升学生数学抽象的核心素养. 2.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断. 学习目标 1 新知导学 素养启迪 1.全称量词与全称量词命题 所有的 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 . 定义 含有 量词的命题,叫做全称量词命题 一般形式 对M中 x,p(x)成立 符号表示 ,p(x) 任意一个 全称 任意一个 x∈M 2.存在量词与存在量词命题 存在 量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 . 存在量 词命题 定义 含有 量词的命题,叫做存在量词命题 一般形式 M中的元素x,p(x)成立 符号表示 ,p(x) 存在一个 至少有一个 存在 存在 x∈M 2 课堂探究 素养培育 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判定 [例1] 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词 命题. (1)凸多边形的外角和等于360°; 解:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题. 解:(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题. (2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|; (3)0不能作除数; 解:(3)是命题,既不是全称量词命题,也不是存在量词命题. (4)负数的平方是正数; 解:(4)省略了全称量词“所有”,是全称量词命题. (5)任何数的0次方都等于1吗 解:(5)不是命题. (1)判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是判断命题中含有哪种量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题.常见的全称量词有“所有”“任意一个”“每一个” “任何一个”“一切”“全部的”.常见的存在量词有“存在一个”“至少一个”“有些”“有一个” “某个”. (2)有些全称量词命题有可能在叙述上省略了全称量词,如“末位是0的整数可以被5整除”等,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断. [变式与拓展1-1] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1) x∈N,2x+1是奇数; 解:(1)是全称量词命题. 解:(2)是存在量词命题. 解:(3)是全称量词命题. (3)自然数的平方大于零; (4)某些无理数的平方仍是无理数. 解:(4)是存在量词命题. 题型二 含有量词的命题的真假判断 [例2] 判断下列命题的真假. (1) x∈R,x2+1≥1; 解:(1) x∈R,总有x2≥0,因而x2+1≥1. 所以全称量词命题“ x∈R,x2+1≥1”是真命题. (2)有些整数只有两个正因数; 解:(2)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题. (3)对每一个无理数x,x2也是无理数. (1)判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)要判断存在量词命题“ x∈M,q(x)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个x=x0,使得q(x0)成立即可. [变式与拓展2-1] (多选题)下列全称量词命题与存在量词命题中,是真命题的是( ) A.设A,B为两个集合,若A B,则 x∈A,都有x∈B B.设A,B为两个集合,若A,B互不包含,则 x∈A,使得x B C. x∈{y|y是无理数},x2是有理数 D. x∈{y|y是无理数},x3是无理数 √ √ 题型三 含有量词的命题的应用 [例3](1)若“ 1≤x≤2,x-a≥0”是真命题,则实数a的取值范围是 ; 解析:(1)若“ 1≤x≤2,x-a≥0”是真命题,即“ 1≤ x≤2,x≥a”能成立, 所以只需a≤2,即实数a的取值范围是{a|a≤2}. {a|a≤2} (2)若命题“ x∈R,x2+2x-a-2=0”为真命题,则实数a的取值范围为 . 解析:(2)由题设命题为真命题,即方程x2+2x-a-2=0有实数根,所以Δ=4+4(a+2)≥0,解得a≥-3,所以a的取值范围为{a|a≥-3}. {a|a≥-3} 利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧 (1)含参数的全称量词命题为真时,常转化为 ... ...
