2024年高考数学二轮复习专题-圆锥曲线 1.（2）椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得， 故选：A. 2. （8）设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则，即，故， 则有， 即，即，则，由，故. 故选：D. 3. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． （1）证明：直线过定点； （2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 由，故，由直线与直线垂直， 故两只直线斜率都存在且不为， 设直线、分别为、，有， 、、、， 联立与直线，即有， 消去可得，， 故、， 则， 故，， 即，同理可得， 当时， 则， 即 ， 由，即， 故时，有， 此时过定点，且该定点为， 当时，即时，由，即时， 有，亦过定点， 故直线过定点，且该定点为； 【小问2详解】 由、、、， 则，由、， 故， 同理可得，联立两直线，即， 有， 即， 有，由，同理， 故 ， 故， 过点作轴，交直线于点，则， 由、， 故， 当且仅当时，等号成立， 下证： 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方， 有，由直线过定点， 此时， 同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方， 有，故此时， 当且仅当时，， 故恒成立，且时，等号成立， 故， 题型一：椭圆的方程 【典例例题】 例1.（2024春·新高考）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ） A． B．的最大值为8 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】CD 【详解】由椭圆定义得，，，A错误； ，当时取等号，B错误； ，设，则，，， ，由，得，C正确； ，，D正确. 故选：CD 【变式训练】 1.（2024春·河南省）若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．己知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，， 联立，可得， 所以， 所以的面积为， 由，可得为的中点，所以， 因为点在椭圆上，所以，所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得，， ， 设，，则，， ， 所以点坐标为， 因为点在椭圆上，所以， 因为原点到直线的距离为， ， 所以的面积为 ， 综上，，又， 又， 所以当时，的面积最大. 故选：B. 2.（2024春·湖南长沙）（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】椭圆：，则，所以， 又，所以点再椭圆上， 连接， 则，故A不正确； 由椭圆的定义可得， 又的内切圆圆心为，所以内切圆半径， 由于， 所以， 故，故C正确； 又， 所以， 则，所以，故D正确； 又，所以， 又，所以，即，故B正确. 故选：BCD. 题型二：椭圆的离心率 【典例例题】 例1.（2024·黑龙江）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题意，在中， 所以其外接圆半径，内切圆的半径为， 故. 故答案为： 【变式训练】 1.（2024春·广东省东莞）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在上，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.（2024春·湖北武汉）已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】 由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则， 由，得， 因为，所以 ... ...
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