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课件网) 第2课时 函数奇偶性的应用 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式. 2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的 问题. 学习目标 1 新知导学 素养启迪 奇函数与偶函数在对称区间上的单调性 (1)奇函数在[a,b]上的单调性与在[-b,-a]上的单调性相同. (2)偶函数在[a,b]上的单调性与在[-b,-a]上的单调性相反. 2 课堂探究 素养培育 题型一 利用奇偶性求函数值 [例1] (1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 √ 解析:(1)因为f(x)-g(x)=x3+x2+1, 所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1. 因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1. 所以f(1)+g(1)=-1+1+1=1. 故选C. 解析:(2)因为f(x)为R上的奇函数, 所以f(0)=0,即m=0, 所以f(x)=x2+2x, 故f(3)=32+2×3=15, 又f(x)为奇函数, 所以f(-3)=-f(3)=-15. (2)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= x2+2x+m(m为常数),则f(-3)= . -15 (1)奇函数f(x)若在x=0处有意义,则必有f(0)=0. 2 2 (2)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)= . 解析:(2)因为y=f(x)+g(x)为偶函数, 所以f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), 又y=f(x)-g(x)是奇函数, 所以f(-x)-g(-x)=-f(x)+g(x), 两式相加得2f(-x)=2g(x), 令x=-2,得g(-2)=f(2)=2. 题型二 利用奇偶性求函数f(x)的解析式 [例2] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)= x2-2x-3,求f(x)的解析式. 解:设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3. 又因为f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x), 所以-f(x)=x2+2x-3, 所以f(x)=-x2-2x+3(x<0). 利用函数奇偶性求解析式时的注意事项 (1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x. (2)利用已知区间的解析式写出f(-x). (3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x). 若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略. [变式与拓展2-1] (1)已知函数f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)= x+b,若f(-3)=5,则当x<0时,函数解析式为 ; 解析:(1)因为f(x)是奇函数, 所以f(-3)=-f(3)=5,所以f(3)=-5. 又x>0时,f(x)=x+b,所以3+b=-5,所以b=-8. 所以当x>0时,f(x)=x-8. 设x<0,则-x>0,即f(-x)=-x-8. 又f(x)是奇函数, 所以-f(x)=-x-8,即f(x)=x+8. f(x)=x+8 (2)已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x2,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= . 解析:(2)设x>0,则-x<0, 所以f(-x)=(-x)-(-x)2=-x-x2, 又因为f(x)为偶函数. 所以f(-x)=f(x),故f(x)=-x-x2. -x-x2 题型三 函数的单调性与奇偶性综合问题 [例3] 已知定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调 递减. (1)求证:f(x)在(-∞,0)上单调递增; (1)证明:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1
-x2, 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以f(-x1)4,即2x2-1>4或2x2-1<-4, (2)若f(4)=2,解不等式f(2x2-1)<2. 对未给出具体表达式的奇(偶)函数,在关于原点对称的两个区间上的单调性问题的证明步骤 (1)取所证区间上的两个不同的值x1-x2. (2)利用函数在已知区间上的单调性,比较f(-x1)和f(-x2). (3)根据函数的奇偶性,转换成f(x1)和f(x2)的大小,从而证得结论 ... ... 
