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课件网) 第11讲 正方形 第5章 特殊平行四边形 浙教版 八年级下册重难点突破系列 1.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是直角，四条边相等． (2)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． (3)正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 3.正方形的判定 (1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． (3)有一个角为直角的菱形是正方形． 4.正方形的对称性 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴． 【例1】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( ) A．BC＝AC B．CF⊥BF C ．BD＝DF D．AC＝BF 【思路点拨】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，得BE＝EC，BF＝FC，进而得出四边形BECF是菱形，由菱形的性质以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可． D 【解题过程】 ∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF. ∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形． 当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠EBF＝2∠ABC＝2×45°＝90°， ∴菱形BECF是正方形，故选项A能证明四边形BECF为正方形； 当CF⊥BF时，即∠BFC＝90°，利用正方形的判定得出菱形BECF是正方形；当BD＝DF时，即EF＝BC，利用正方形的判定得出菱形BECF是正方形；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形．故选D. 【方法归纳】 本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形相关的定理是解题的关键．由菱形判定为正方形的方法：一个角为直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形． 【例2】 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝_____. 【思路点拨】证明△ABE≌△BCF，得到CF＝BE＝2，求得DF＝3，在Rt△ADF中用勾股定理可求得AF的长． 【解题过程】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵BF⊥AE， ∴∠AEB＋∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF. 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF， ∴CF＝BE＝2. ∵四边形ABCD是正方形，∠D＝90°， ∴CD＝AD＝AB＝5， ∴DF＝5－2＝3. 【例3】 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AB上，BE＝2，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为( ) 【思路点拨】连结FM，BF，则BF经过CE的中点N，证FM⊥DG，在Rt△FMB中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求得MN的长． C 【解题过程】 如图，连结FM，BF， ∵四边形ABCD是正方形，EF∥BC， ∴四边形EBCF为矩形， ∴BF与CE的交点就是对角线CE的中点N， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠GDF＝45°， ∵∠DFG＝90°， ∴ ∠GDF＝∠DGF＝45°， ∴DF＝GF， ∵M是DG的中点， ∴FM⊥DG， ∵CF＝BE＝2，BC＝3，∠BCF＝90°， 【例4】 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED. (1)求证：△BEC≌△DEC. 【思路点拨】根据正方形性质，运用“SAS”即可证明△BEC≌△DEC； 【解题过程】 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB. ∵AC是正方形的对角线，∴∠DCA＝∠BCA． 又∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC. (2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数． 【思路点拨】根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC＝∠DEC＝ ∠BED＝70°，再在△AEF中 ... ...
