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课件网) 5 一元二次方程的根与系数的关系 1.通过阅读课本学生可以掌握一元二次方程根与系数的关系，提高学生解决问题的能力 2.通过自主探究经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，培养学生的逻辑推理和数学运算能力. 3.通过对根与系数之间关系的探究，体会事物之间的联系，发展学生归纳和推理论证的能力 . 旧知回顾 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2.如何用判别式b -4ac来判断一元二次方程根的情况？ (①b -4ac>0,方程有两个不相等的实数根；②b -4ac=0，方程有两个相等的实数根；③b -4ac<0，方程没有实数根) ( ) 一天，小王去小明家玩，当时小明正为墨迹不小心污染了一道解一元二次方程的习题而愁眉不展，小王翻看了后面的答案后立马帮他补全了题目.这让解方程一向熟练的小明很惊讶，忙急着问小王有什么“秘法”. 小王的“秘法” 16世纪法国最杰出的数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间存在的特殊关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化,并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。 1.请同学们阅读课本49-50页内容并思考. 2.请同学们完成下面的表格： -3 -4 自主探究 （10min） 3.完成表格后，请同学们思考以下问题： ①针对表格中第一个方程，猜想：若方程x +px+q=0 的根为x ,x ,则x +x 与x x 的值与p,q之间的关系是什么 ②针对表格中第二、三个方程，猜想：方程ax +bx+c=0(a≠0)的两根x ,x 之和、之积与a,b,c之间的关系是什么 ③你能证明一下上述两个猜想吗 （证明略） x +x =-p, x x =q （ ） 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x +3x-1=0的两个根的平方和与倒数和. 小组展示 我提问 我回答 我补充 我质疑 提疑惑：你有什么疑惑？ 越展越优秀 知识点 2：一元二次方程的根与系数关系的应用（难点） （1）验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数； 知识点 1：一元二次方程的根与系数的关系(重点) 如果一元二次方程 的两个实数根是 那么 注意它的使用条件为( (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x ，x 的代数式的值.此时，常 常涉及代数式的一些重要变形，如： ① ② ③ ④ ⑦ ⑧ (4)已知方程的两根，写出一个一元二次方程； 以x ,x 为根的一元二次方程是x -(x +x )x+x x =0. (5)已知一元二次方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两根为x ,x ,则 ①当Δ>0且x x >0时,两根同号. 当Δ>0且 x x >0,x +x >0时,两根同为正数; 当Δ>0且x x >0,x +x <0|时，两根同为负数. ②当Δ>0且x x <0时,两根异号. 当Δ>0且x x <0,x +x >0时,两根异号且正根的绝对值较大; 当Δ>0且x x <0,x +x <0|时，两根异号且负根的绝对值较大. 【点石成金】 利用根与系数的关系求出一元二次方程中的待定系数后， 一定要验证方程的 Δ.考试中，往往利用这一点设置陷阱. 【题型一】利用一元二次方程根与系数的关系求值 例 1: 若x ,x 是一元二次方程x -7x+5=0的两根,则x x 的值是( ) A.7 B.-7 C.5 D.-5 变式： 设方程2x -4x+1=0的两个根为x ,x ,则则x +x 的值是( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 C C 【题型二】通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 例 2： 已知关于 x的一元二次方程x -mx-2=0有两个实数根 x , ... ...
