第三节 勾股定理及逆定理的综合 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次 勾股定理及逆定理 利用勾股定理及逆定理解决有关问题 二、核心纲要 1.勾股定理与逆定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法.综合应用勾股定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形(或添加辅助线后的图形)中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题. 2.直角三角形的性质 (1)角的关系：两锐角互余. (2)边的关系：勾股定理. (3)边角关系：30°角所对的直角边等于斜边的一半. 这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用. 3.勾股定理及逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 掌握一些常见的基本图形： 本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用 三、全能突破 基础演练 1.下面的判断： ①在△ABC中,( ,则△ABC 不是直角三角形;②△ABC 是直角三角形,∠C=90°,则. ③若△ABC中, ,则△ABC是直角三角形;④若△ABC是直角三角形,则(c-a)(a+c)=b ;以上判断正确的有( ). A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.图17-3-1所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( ). A.2m B.3m C.6m D.9m 3.如图17-3-2 所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB 的垂直平分线交 BC 于点D,垂足为 E,BD=4cm.则CD 的长为 . 4.如图17-3-3 所示，在一棵树的10米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶 D后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 5.一张直角三角形的纸片，按图 17-3-4 所示折叠，使两个锐角的顶点 A、B 重合，若 则 DC 的长为 . 6.如图17-3-5 所示,折叠长方形的一边 AD,使点 D 落 在 BC 边的点 F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求△EFC的面积. 7.如图 17-3-6 所示,在. 中, 求 S△ABC的面积. 。 能力提升 8.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图17-3-7 所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，其中. 米,AC=30米.已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 元. 9.如图17-3-8 所示,长方形 ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿 AC折叠,点 D 落在 D'处,则重叠部分△AFC的面积是 . 10.如图17-3-9 所示,把长方形 ABCD 纸片折叠,使点 B 落在点D 处,点C 落在C'处,折痕EF 与BD 交于点O,已知AB=16,AD=12,则折痕 EF的长为 . 11.如图17-3-10所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC内的一点,且 PB=1,PC=2,PA=3,将△PBC绕点C 旋转后,与△AP'C 重合,连接 PP',则. 的度数为 . 12.等腰三角形的一边长是 12，另一边长是10，则其面积为 . 13.如图 17-3-11所示,公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇,且∠QPN=30°,点 A 处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响 请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒 14.如图17-3-12 所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区A、B，已知AB=10 千米，直线AB 与公路MN 的夹角 ,新开发区 B到公路 MN 的距离BC=3千米. (1)求新开发区 A 到公路MN 的距离； (2)现要在 MN 上某点 P 处向新开发区 A、B修两条公路PA、PB，使点 P 到新开发区A、B的距离之和最短.请你用尺规作图 ... ...
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