青岛第二中学2024届高三下学期二模考试数学试题 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 2. 抛物线的焦准距是（ ） A. B. C. 3 D. 6 3. 在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 6. 为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ） A. 1.4 B. 1.45 C. 1.5 D. 1.55 7. 已知函数满足对任意的且都有，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 正方体中，，分别为棱和中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为60° D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 10. 已知正实数，，，且，，，为自然数，则满足恒成立的，，可以是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 离心率 D. 若，则 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为_____. 13. 将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为_____. 14. 如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为_____.（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知多面体均垂直于平面． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足. （1）求，，，并求数列的通项公式； （2）记，求数列前和. 17. 已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点. （1）求双曲线的方程； （2）若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标. 18 定义，已知函数，其中. （1）当时，求过原点的切线方程； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围. 19. 甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答 ... ...
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