2024届广东省珠海市大湾区高三下学期联合模拟考试（二）数学试题（含答案）

★启用前注意保密 2024届广东省珠海市大湾区高三下学期联合模拟考试（二） 数学 本卷共6页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合的真子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．的展开式中，的系数为（ ） A． B．10 C． D．40 3．某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 4．已知正实数满足，则（ ） A．1 B． C．4 D．1或 5．若向量满足，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．（ ） A． B． C． D． 7．拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（ ） A． B．26 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组数据是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ） A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小 10．函数的定义域为，若对任意，都有，则（ ） A． B． C．为奇函数 D．在上为单调函数 11．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，分别在棱，上，且分别为的中点，则（ ） A．平面 B．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为 D．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，为虚数单位，定义，则复数的模为_____． 13．函数的部分图象如图所示，则_____． 14．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，与轴正半轴相交于点．若在第一象限内的圆弧上存在点，使，则圆的标准方程为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 16．（15分） 已知数列为等差数列，，前项和为，满足：当且时，． （1）求的通项公式； （2）定义集合，记的元素个数为，数列的前项和为，求． 17．（15分） 一个袋子中装有6个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同．现每次从袋中不放回地随机取出一个球，直到2个白球都被取出为止．以表示袋中还剩下的黑球个数． （1）记事件表示“第次取出的是白球”，，求； （2）求的分布列和数学期望． 18．（17分） 双曲线的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为． （1）若的一条渐近线为，求的方程； （2）已知动直线 ... ...