(
课件网) 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 1 课前预习 素养启迪 1.空间向量 (1)定义 在空间,把具有 的量叫做空间向量. (2)长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或 . 大小和方向 模 几何表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 用字母表示,如图,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作 ,其模记为 或 . (3)表示方法 |a| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量:规定 叫做零向量,记为0. ②单位向量: 叫做单位向量. ③相反向量:与向量a长度相等而 的向量叫做a的相反向量,记为-a. ④相等向量: 叫做相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示 或 . ⑤共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在 直线互相 或 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 长度为0的向量 模为1的向量 方向相反 方向相同且模相等的向量 同一向量 相等向量 平行 重合 [问题1] 平面向量与空间向量有什么区别和联系 答案:(1)区别:平面向量研究的是二维平面的向量,空间向量研究的是三维空间的向量. (2)联系:空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线(平行)向量的概念都与平面向量相同. 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法、数乘运算的定义 把平面向量的线性运算推广到空间,定义空间向量的加法、减法 (图1)以及数乘运算(图2): 0 (2)运算律 空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ,μ∈R): 交换律:a+b= ; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)= ; 分配律:(λ+μ)a= ,λ(a+b)= . (3)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和 . b+a (λμ)a λa+μa λa+λb 不变 [问题2] λ∈R,向量a≠0,则向量λa的方向、模与向量a的 方向、模之间分别有什么关系 答案:(1)λ>0时,向量λa的方向与向量a的方向相同,λ<0时,向量λa的方向与向量a的方向相反,λ=0时,λa为0,方向是 任意的. (2)λa的模为|λa|=|λ|·|a|,即向量a的模的|λ|倍. 3.向量共线与共面向量 (1)空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实数λ,使 . a=λb 把与向量a平行的非零向量称为直线l的 .这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的 确定. λa 方向向量 方向向量 (4)向量共面的充要条件 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. 平行 (3)共面向量 重合 平行 共面向量 唯一 答案:(1)当λ+μ=1时,A,B,P三点共线. [问题4] 三个向量共面,是否表示这三个向量的有向线段所在的直线一定共面 答案:不一定.若三个向量共面,则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. 答案:(1)共面. 答案:(2)共面. 答案:(3)共面. 1.下列说法正确的是( ) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 C 解析:A选项,零向量与它的相反向量相等,故A错误; B选项,将空间中的所有单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球面,故B错误;C选项,空间向量与平面向量一样,既有模又有方向,不能比较大小,故C正确; D选项,一个非零空间向量与它的相反向量不相等, 但它们的模相等,故D错误. BD 2.(多选题)若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( ) 3.如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量的表达式. 2 课堂探究 素养培育 空间向量的概念 [例1] 给出下列命题: ①两个相等的向量,若它们的起点相同,则终点必 ... ...
