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课件网) 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 1 课前预习 素养启迪 1.双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 叫做双曲线的焦点, 叫做双曲线的焦距. 差的 绝对值 两个定点 两焦点间的距离 2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 焦点 坐标 a,b,c 的关系 c2= F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a2+b2 [问题] 在双曲线的定义中, (1)若常数=|F1F2|,则点P的轨迹是什么 答案:(1)若常数=|F1F2|,则点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线. (2)若常数>|F1F2|或常数为0呢 答案:(2)若常数>|F1F2|,则点P的轨迹不存在;若常数为0,则点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. D D AB 2 课堂探究 素养培育 求双曲线的标准方程 角度1 定义法 [例1] 已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. (1)用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线. (2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. [针对训练] 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 角度2 待定系数法 [例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8; 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置:根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论. (3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. [针对训练] 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 双曲线标准方程的应用 焦点三角形 双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有 (1)定义:|r1-r2|=2a. (1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积; (2)若∠F1PF2=60°,△F1PF2的面积是多少 若∠F1PF2=120°,△F1PF2的面积又是多少 双曲线的实际应用 [例5] 相距2 000 m的两个哨所A,B,听到远处传来的炮弹爆炸声.已知当时的声速是330 m/s,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到的时间迟4 s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线的方程. 解答实际应用问题时,要注意先将实际问题数学化,条件中有两定点,某点与这两定点的距离存在某种联系,解题时先画出图形,分析其关系,看是否与双曲线的定义有关,再确定解题思路、步骤. [针对训练] A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km, C在B北偏西30°,相距4 km,P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此经过4 s后,B,C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,若A炮击P地,则炮击的方向角是 (南、北)偏 (东、西) 度. 北 东 30 D B AC 4.已知圆C:(x+3)2+y2=4及点A(3,0),Q为圆周上一点,AQ的垂直平分线 交直线CQ于点M,则动点M的轨迹方程为 . ... ...
