(
课件网) 3.2.2 双曲线的简单几何性质 1 课前预习 素养启迪 1.双曲线的几何性质 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |F1F2|=2c x≤-a x≥a R y≤-a y≥a R 坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) A1A2 2a B1B2 2b a b (1,+∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴 的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线方程是 ,离心率为e= . 等长 y=±x [问题] 离心率刻画了双曲线的什么几何特征 答案:离心率刻画了双曲线的“张口”大小.离心率越大,双曲线的“张口”越大,反之亦然. C C AC 1 2 课堂探究 素养培育 双曲线的简单几何性质 [例1] 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c值,从而得到双曲线的几何性质. 由双曲线的性质求双曲线的方程 (3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6,求双曲线方程. (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求得. 双曲线的离心率 角度1 求离心率 4 (3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解. 角度2 求离心率的取值范围 直线与双曲线的位置关系 [例5] 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1. (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; [例5] 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1. [针对训练] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围. (1)直线l与双曲线有两个公共点; [针对训练] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围. (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; [针对训练] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围. (3)直线l与双曲线没有公共点. 双曲线方程的各种形式 解析:由题意得4-a2=a+2,所以a2+a-2=0,所以a=1或a=-2(舍去).故选D. [应用探究3] 已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),求k的值. A D BC (1,2)
