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课件网) 第2课时 直线与抛物线的位置关系 1 课前预习 素养启迪 直线与抛物线的位置关系 已知直线l:y=kx+m与抛物线C:y2=2px(p>0); 方程k2x2+2(km-p)x+m2=0,Δ=[2(km-p)]2-4k2m2. (1)l与C相交于一点 k=0;相交于两点 k≠0,Δ>0. (2)l与C相切 k≠0,Δ=0. (3)l与C相离 k≠0,Δ<0. B 1.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( ) A.8 B.16 C.32 D.61 解析:由抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0), 得直线的方程为y=x-2, 代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0. 设弦的两端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2), 所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16. B 2.过点(2,4)的直线与抛物线y2=8x只有一个公共点, 这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:因为点(2,4)在抛物线y2=8x上,所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点. CD (4,2) 4.已知直线x-y=2与抛物线y2=4x相交于A,B两点,那么线段AB的中点坐标是 . 5.已知直线l:y=2x+b(b≠0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB(O为原点),写出一个满足条件的抛物线方程: ,此时直线的方程为 . y2=2x y=2x-4(答案不唯一) 2 课堂探究 素养培育 直线与抛物线的位置关系 [例1] 已知抛物线C:y2=-2x,过点P(1,1)的直线l斜率为k,当k取何值时,l与C有且只有一个公共点;有两个公共点;无公共点 直线与抛物线交点个数的判断方法 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0, (1)若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. (2)若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. [针对训练] 已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x,求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程. 与抛物线有关的中点弦问题 [例2] 已知A,B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程; [例2] 已知A,B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分. (2)求直线AB的方程. [变式探究] 若本例中条件“线段AB恰被M(2,1)所平分”改为“线段AB恰被M(1,1)所平分”,试问:这样的直线AB是否存在 若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由. (2)传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的 2倍,从而求斜率. 相交弦问题 [例3] 已知F为抛物线C:y2=2px的焦点,点A(2,m)在抛物线C上,且|AF|=4. (1)求抛物线C的方程; [例3] 已知F为抛物线C:y2=2px的焦点,点A(2,m)在抛物线C上, 且|AF|=4. (2)过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P,Q两点,求△APQ的面积. ②焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. [针对训练] 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:x2=6y与直线l:y=kx+3交于M,N两点. (1)若△MON的面积为18,求k; [针对训练] 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:x2=6y与直线l:y=kx+3交于M,N两点. (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN 若存在,请证明,并求以线段OP为直径的圆的方程;若不存在,请说明理由. C 1.在抛物线y2=8x中,以(1,-1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A.x-4y-3=0 B.x+4y+3=0 C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=0 ... ...
